Докажите, что точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции, середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на одной прямой.

На каждой стороне треугольника выбрано по p-1 точек, делящих сторону на p равных частей. Все точки деления соединены отрезками с противолежащими вершинами треугольника. На какое наименьшее число частей разбивается треугольник этими отрезками, если известно, что p - простое число?

  В треугольнике $ABC$ центр описанной окружности лежит на вписанной окружности. Докажите, что

                                  $cosA + cosB + cosB = \sqrt{2}$

  Proposed by Saken Ilyassov

 $ABC$ - произвольный треугольник. Окружность проходящая через точки $A$ и $B$ пересекает прямые $AC$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$. Прямые $AQ$ и $BP$ пересеклись в точке $O$. Описанные окружности треугольников $APO$ и $BQO$ пересекают прямые $PQ$ и $AB$ в точках $E_1,F_1$ и $E_2,F_2$ соответственно. Прямые $E_1E_2$ и $AC$ пересеклись в точке $M$, а прямые $F_1F_2$ и $BC$ в точке $N$. Докажите, что прямая $CO$ делит $MN$ пополам.

  Proposed by Saken Ilyassov and Amir Dargulov