В данном разделе содержатся задачи различных математических олимпиад и конкурсов. Большинство составляют задачи международных и различных этапов республиканских олимпиад
Категории:
- Делимость целых чисел. Простые числа. НОД и НОК.
- Диофантовы уравнения
- Комбинаторная теория чисел
- Разные задачи
Задача #240
8 - 10 Класс
Докажите, что уравнение $y^2 = x^3 + 7$ не имеет целых корней.
Добавить решение Просмотр решения
Задача #238
7 - 9 Класс
7. Найдите наименьшее число элементов во множестве {1,2,3,...,27,28}, которые должны быть удалены, чтобы произведение оставшихся элементов являлось точным квадратов.
Добавить решение Просмотр решения
Задача #216
7 - 9 Класс
Докажите, что дробь (12n+1)/(30n+2) - несократима ни при каком натуральном .
Добавить решение Просмотр решения
Задача #209
7 - 8 Класс
Известно, что p и $p^2$+2 - простые числа. Докажите, что $p^3$+2 - простое число.
Добавить решение Просмотр решения
Задача #205
9 - 11 Класс
Найти все натуральные числа a, b и c, удовлетворяющие равенству $a!+2009b! = c!$
Добавить решение Просмотр решения
Задача #198
9 - 10 Класс
Существуют ли различные взаимно простые в совокупности натуральные числа `a , b` и `c` , большие 1 и такие, что `2^a+1` делится на `b` , `2^b+1` делится на `c` , а `2^c+1` делится на `a` ?
Добавить решение Просмотр решения
Задача #172
9 - 11 Класс
Докажите, что при любом нечетном $n$ число $2^(n!)-1$ делится на $n$.