Посты раздела "Алгебра"

 Привет всем!

Дорогие друзья, в этой статье я постараюсь рассказать чуть более подробно о функциональном уравнении Коши, чем в предыдущих статьях. Наверняка многие из вас знают уравнение Коши в его "стандартном" виде: $f(x+y)=f(x)+f(y)$, и при монотонности функции ответами данного функционального уравнения является $f(x)=cx$, где $c$ - любая константа. Но оказывается есть еще несколько видов уравнения Коши:

вид 1) $f(x+y)=f(x)+f(...

Небольшая серия задач на применение неравенства Kоши-Буняковского-Шварца.
$\sum \limits_{i=1}^{n} {a_i ^2} \sum \limits_{i=1}^{n} {b_i ^2} \geq (\sum\limits_{i=1}^{n} {a_i b_i} )^2$
 

Пусть даны положительные числа $a_1, a_2, ..., a_n$ и произвольное действительное число $\alpha$. Рассмотрим функцию $A(\alpha) = {a_1}^{\alpha} + {a_2}^{\alpha} + ... + {a_n}^{\alpha}$.

Cвойство:

$A(\alpha) A(\beta) \geq (A( \frac{\alpha + \beta}{2...

Если неравенство симметричное, то переменные можно упорядочить, если же циклическое, то среди переменных можно выделить наибольший (или наименьший элемент). Очень часто такие неравенства решают при помощи метода математической индукции.

Пример. Для любых неотрицательных чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ докажите неравенство $(n \ge 2)$:
$$
(a_1^3 + 1)(a_2^3 + 1)\ldots(a_n^3 + 1) \ge (a_1^2a_2 + 1)(a_2^2a_3 + 1)\ldots(a_n^2a_1 + 1)...

Задачи для средних по 10 баллов!

Задачи для старших по 7 баллов!

Задача 1

Докажите неравенство: 

$\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2} > \frac{a+b+c}{3}$

(a, b, c - положительные числа).   

Задача 2

Докажите неравенство для положительных значений переменных:
(a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c)...