Международная Балканская Олимпиада (BMO)

XVI Балканская математическая олимпиада
2009 год

Задача 1. Решите уравнение: $3^x-5^y=z^2$
в натуральных числах.
 
Задача 2.  Пусть прямая $MN$ параллельна стороне $BC$ треугольника $ABC$, где $M$ принадлежит отрезку $AB$, а $N$ принадлежит отрезку $AC$. Прямые $BN$ и $CM$ пересекаются в точке $P$. Описанные окружности треугольников $BMP$ и $CNP$ пересекаются в двух различных точках $P$ и $Q$. Докажите, что $\angle BAQ=\angle CAP$.
 
Задача 3.  Прямоугольник  9x12 разбит на единичные квадратики. Центры всех единичных квадратиков, за исключением четырех угловых квадратиков и восьми квадратиков, которые имеют общую сторону с угловыми квадратиками, покрашены в красный цвет. Возможно ли обозначить эти красные центры буквами $,C_1 ,C_2 ...,C_{96} ,$ чтобы удовлетворялись следующие два условия одновременно:
(i)     длины всех отрезков $,C_1C_2 ,C_2C_3 ...,C_{95}C_{96} , C_{96}C_1$  равны $\sqrt{13}$.
(ii)   замкнутая ломанная  $C_1C_2...C_{96}C_1$имеет центр симметрии?
 
Задача 4. Найдите все функции $f:N\rightarrow N$, удовлетворяющих условию:
$f(f^2(m)+2f^2(n))=m^2+2n^2$, при всех $n, m \in N .
 
 
XVII Балканская математическая олимпиада
  2 - 8 май, 2010 год
 
Задача 1.  Пусть $a, b$ и $c$ -- положительные вещественные числа.
Докажите неравенство
$$
\frac {a^2b(b-c)}{a+b}+\frac {b^2c(c-a)}{b+c}+\frac
{c^2a(a-b)}{c+a}\ge 0.
$$
 
 
Задача 2. В остроугольном треугольнике $ABC$ с ортоцентром $H$ (ортоцентр -- точка пересечения высот) точка $M$ является серединой стороны $AC$. Точка $C_1$ стороны $AB$ -- основание высоты $CC_1$ треугольника $ABC$, а точка $H_1$ симметрична $H$ относительно $AB$. Точки $P$, $Q$ и $R$ являются ортогональными проекциями точки $C_1$ на прямые $AH_1$, $AC$ и $BC$, соответственно. Пусть точка $M_1$ такая, что центр описанной окружности треугольника $PQR$ является серединой отрезка $MM_1$.
Докажите, что $M_1$ лежит на отрезке $BH_1$.
 
 
Задача 3.  Полосой ширины $w$ назовем множество всех точек плоскости, лежащих на или между двумя параллельными прямыми, расположенными на расстоянии $w$ друг от друга. Пусть $S$ -- множество $n $ ($n \ge 3$) точек на плоскости таких, что любые три различные точки из $S$ могут быть покрыты полосой ширины 1.
Докажите, что множество $S$ может быть покрыто полосой ширины 2.
 
 
Задача 4. Для каждого целого $n$ ($n \ge 2$) пусть $f(n)$ обозначает сумму всех натуральных чисел, которые не превосходят $n$ и не являются взаимно простыми с $n$.
Докажите, что $f(n+p)\neq f(n)$ для каждого такого $n$ и любого простого числа $p$.
 
 
 
XXVIII Балканская математическая олимпиада
4 - 8 май, 2011 год. г. Яссы (Румыния)
 
 
 
Задача 1. Пусть $ABCD$ вписанный четырехугольник, который не является трапецией и диагонали которого пересекаются в точке $E$. Точки $F$ и $G$ являются серединами сторон $AB$ и $CD$ соответственно, а $l$ - прямая проходящая через $G$, параллельная $AB$. $H$ и $K$ основания перпендикуляров из $E$ на прямые $l$ и $CD$ соответственно.
Докажите, что прямые $EF$ и $HK$ перпендикулярны.
 
 
Задача 2. Даны действительные числа $x, y$ и $z$ такие что выполняется условие: $x+y+z=0$, показать что
$$
\frac {x(x+2)}{2x^2+1}+\frac {y(y+2)}{2y^2+1}+\frac
{z(z+2)}{2z^2+1}\ge 0.
$$
Когда выполняется равенство?
 
 
Задача 3. Пусть $S$ конечное множество положительных целых чисел, которое имеет
следующие свойство: если $x$ - элемент $S$, то и все положительные делители $x$. Непустое подмножество $T$ множества $S$ назовем хорошей, если для чисел $x, y\in T$ и $x < y$,
отношение $y/x$ является степенью простого числа. Непустое подмножество $T$ множества $S$ назовем
плохой, если для чисел $x, y\in T$ и $x < y$, отношение $y/x$ не является степенью простого числа. Условимся что одноэлементное подмножество S одновременно является и хорошим и плохим. Пусть $k$ максимально возможный размер хорошего подмножество $S$. Докажите, что $k$ также является наименьшим числом попарно-непересекающиеся плохих подмножеств, объединение которых дает множество $S$.
 
 
Задача 4. Пусть $ABCDEF$ выпуклый шестиугольник с площадью 1, противоположные стороны которого параллельны друг другу. Пары прямых из $AB$, $CD$ и $EF$ определяют вершины одного треугольника, а пары прямых из $BC$, $DE$ и $FA$ определяют вершины другого треугольника.
Доказать, что по крайней мере площадь одного из этих двух треугольников не менее $3/2$.