Пусть $\omega_c$ окружность вписанная в угол $\angle ACB$ треугольника $ABC$, которая касается его описанной окружности (внутреним образом) в точке $N_c$. Пусть $M_c$ середина дуги $AN_cB$. Прямые $N_cM_c$ и $AB$ пересеклись в точке $K_c$. Пусть окружность $S_c$ - это окружность с диаметром $N_cK_c$. Аналогично определим окружности $S_a$ и $S_b$. Докажите, что окружности $S_a,S_b$ и $S_c$ пересекаются в одной точке.
Proposed by Saken Ilyassov
$x_1,x_2...,x_n>0$
доказать $$\frac{1}{1+x_1} +\frac{ 1}{1+x_2} +...+ \frac{1}{1+x_n} \le \frac{n}{1+\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} +...+\frac{ 1}{x_n}}}$$
оно несложное, но запутанное немного
$8($$x^2$$-$$y^2$$)^2$$\geq$$3xy$$\sqrt{6xy}$$(x-y)^2$
Учащиеся одной школы часто собираются группами и ходят в кафе-мороженое. После такого посещения они ссорятся настолько, что никакие двое из них после этого вместе мороженое не едят. К концу года выяснилось, что в дальнейшем они могут ходить в кафе-мороженое только поодиночке. Докажите, что если число посещений было к этому времени больше 1 , то оно не меньше числа учащихся в школе.
Про заданные семь чисел известно, что сумма любых шести из них делится на 5. Докажите, что каждое из чисел делится на 5.
2010^2011 > 2011^2010 + 2052^1994
f(n) + f(f(n)) = 6n + 4, для n = 0,1,2,3,4,... и f(n) тоже принимает только неотрицательные целые значения. Найти f(n).
Вписанная в треугольник ABC окружность с центром I касается сторон AB и AC в точках C1 и B1 соответственно. Точка M делит отрезок C1B1 в отношении 3:1, считая от C1. N - середина стороны AC. Докажите, что точки I,M,B1,N лежат на одной окружности, если известно что AC=3(BC−AB). Подскажите что-нибудь, а то в тупик зашел...
$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5 \geq 0$
$\frac{x_1+x_3}{x_1+x_2}$+ $\frac{x_2+x_4}{x_2+x_3}$+$\frac{x_3+x_1}{x_3+x_4}$ + $\frac{x_4+x_2}{x_4+x_1}$ $\geq 4$.
Proposed by Syrymbet Zh.
Доказать неравенство для $a,b,c>0$
$3a^3 +3b^3+ 3c^3≥(ab+ac+bc)(\sqrt{ab}$+$\sqrt{ac}$+$\sqrt{bc}$)
Сегодня 20 мая 2012 года команда школы Пифагор в составе:
а также команды 165, 173, 92 лицеев в составе которых так же были ученики нашей школы (Абдрахманов Ален, Есбай Махамбет, Стыбаев Дінмухамед)
ЛЕТНЯЯ ШКОЛА ОЛИМПИЙСКОГО РЕЗЕРВА «ЖАС МАТЕМАТИК»
для 2-11 классников регистрация до 15 мая! Всего будет окола 150 учеников!
Theme by Danetsoft and Danang Probo Sayekti inspired by Maksimer