Теоремы

Теорема Ньютона

   Доброго вам времени суток! И это ещё одна теорема, которую я знаю.

 Теорема:

   Во всяком описанном четырёхугольнике середины диагоналей и центр вписанной окружности расположены на одной прямой.

До скорого! Оставляйте комментарии. Обращайтесь.   

Теорема Монжа глосит что:прямые, проведенные через середины сторон вписанного четырехугольника перпендикулярно противоположным сторонам, пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Пусть P, Q, R и S — середины сторон AB, BC, CD и DA четырехугольника ABCD: M — точка пересечения отрезков PR и QS (т. е. середина обоих этих отрезков: ); O - центр описанной окружности, а точка O' симметрична O относительно точки M. Докажем, что прямые, о которых идет речь в условии задачи, проходят через точку O'. В самом деле, O'POR — параллелограмм, поэтому O'P| OR, а так как R — середина хорды CD, то OR CD, т. е. O'P CD. Для прямых O'Q, O'R и O'S доказательство проводится аналогично.

Прямая Симсона

  Привет всем! Сегодня я поделюсь с вами одной очень интересной и по-моему полезной теоремой.

 Теорема:

   Пусть дан треугольник ABC и описанная возле него окружность. Из точки, лежащей на окружности проведём перпендикуляры пересекающиеся со сторонами треугольника в точках X, Y, Z. Тогда все три точки лежат на одной прямой (прямой Симсона).
 Доказательство: 

  Я надеюсь, что вы докажете эту теорему самостоятельно и пришлёте своё док-во в комментарии. Приз за доказательство данной теоремы будет таким же, как приз за доказательство теоремы Паппа!!!

  Конкурс закончился. Ален был первым. Он получает сникерс и плюс в карму. Читайте его док-во ниже в комментах.

Теорема Дезарга

Теорема:

      Треугольники $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ расположены на плоскости так, что прямые $A_1A_2$, $B_1B_2$ и $C_1C_2$ имеют общую точку О. Пусть А – точка пересечения прямых $B_1C_1$ и $B_2C_2$, В – точка пересечения прямых $A_1C_1$ и $A_2C_2$, С – точка пересечения прямых $A_1B_1$ и $A_2B_2$. Тогда точки А, В и С лежат на одной прямой.

Другой рисунок

 Доказательство:

    Применим теорему Менелая к треугольнику $OB_1C_1$ и прямой $AB_2C_2$ (точка A лежит на $B_1C_1$, $B_2$ - на $OB_1$, $C_2$ - на $OC_1$) и получим:

Аналогично из треугольников $OC_1A_1$ и $OA_1B_1$, пересекаемых прямыми $BC_2A_2$ и $CA_2B_2$ соответственно, имеем:

$\frac{BC_1}{BA_1}$$\frac{A_2A_1}{A_2O}$$\frac{C_2O}{C_2C_1}$= 1,

$\frac{CA_1}{CB_1}$$\frac{B_2B_1}{B_2O}$$\frac{A_2O}{A_2A_1}$= 1. 

Перемножив выписанные равенства, после сокращений получим: 

Но точки А, В и С лежат на сторонах или продолжениях сторон треугольника $A_1B_1C_1$ и по теореме Менелая лежат на одной прямой.

  Теорема доказана!

 Теорема Паппа

Теорема: 

    На одной из пересекающихся прямых лежат точки $A_1$, $B_1$, $C_1$, на другой - точки $A_2$, $B_2$, $C_2$. Прямые $A_1B_2$ и $A_2B_1$, $B_1C_2$ и $B_2C_1$, $C_1A_2$ и $C_2A_1$ пересекаются соответственно в точках С, А и В. Тогда точки А, В и С лежат на одной прямой.  

Доказательство:

 Попробуйте доказать эту теорему самостоятельно!!!

Подсказка: Используйте теорему Менелая.

Всем приславшим своё решение поставлю плюс в карму, а тому, кто первым пришлет доказательство обещаю сникерс!!! 

Естественно док-во должно быть верным. И ещё, в листочках, которые раздавал Асан, док-ва данной теоремы нет, можете даже не искать. Да, и пожалуйста присылайте свои решения, не скатанные с интернета или ещё откуда-то. Я не хочу отдать сникерс обманщику!!! Используйте свои знания, опыт и подсказку.

Поздравляю Аубекерова Данияра!!! Он первым доказал теорему и получает сникерс! Скоро добавлю его доказательство.