Основы

Окружность и некоторые основы

Окружность и круг

Окружностью называется множество всех точек плоскости, находящихся на данном положительном расстоянии от некоторой данной точки плоскости, называемой центром окружности.

Радиусом окружности называется отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности (на рис 1 отрезок OA - радиус). Радиус окружности обычно обозначается буквами r , R .

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой (на рис. 1 AB - хорда).

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром. Диаметр равен удвоенному радиусу окружности. Диаметр обычно обозначается буквами d,D .

Свойства хорд окружности:
1) Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен этой хорде.
2) В окружности равные хорды равноудалены от центра окружности, и, наоборот, равноудаленные от центра окружности хорды равны.
3) Из двух не равных хорд окружности большая хорда расположена ближе к центру окружности, и, наоборот, из двух не равных хорд большей будет та, которая ближе к центру.
4) Отрезки пересекающихся хорд AM , MB , CM и MD (рис. 2) связаны равенством

|AM |·|MB |=|CM |·|MD |.

Кругом называется множество всех точек плоскости, расстояние которых от некоторой данной точки плоскости (называемой центром круга) не больше данного.

Радиус, хорда и диаметр окружности являются радиусом, хордой и диаметром соответствующего круга.

Углы в окружности

Угол, вершина которого принадлежит окружности, а стороны пересекают окружность, называют углом, вписанным в эту окружность (рис. 1). Говорят также, что угол BAC опирается на дугу BDC . Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается (или половине величины центрального угла, соответствующего данной дуге):

/ BAC = 21 ∪BDC

Угол, образованный двумя касательными к окружности, проходящими через одну точку, называется описанным углом (на рис. 2 CA и CB - касательные). Величина описанного угла равна полу разности угловых величин дуг, заключенных между его сторонами:

/ ACB = 21 (∪ALB −∪ADB )

Величина угла, образованного двумя секущими, имеющими общую точку, лежащую вне окружности, равна полуразности угловых величин дуг, заключенных между его сторонами (рис. 3):

/ ACA1 = 21 (∪ADA1 −∪BLB1 )

Величина угла, образованного двумя секущими, имеющими общую точку, лежащую внутри окружности, равна полусумме угловых величин дуг, заключенных между его сторонами (рис. 4):

/ BCB1 = 21 (∪BLB1 +∪ADA1 )

Центральные углы и дуги окружности

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом окружности.

Два различных луча, выходящих из центра окружности, определяют два центральных угла. Точки пересечения лучей с окружностью (на рис. 1 точки A и B ) делят окружность на две части. Эти части окружности называются дугами окружности. Чтобы выделить одну из указанных дуг, на дугах выбирают произвольные точки (на рис. 1 точки C и D ) и говорят о дугах ACB и ADB . Для обозначения дуг используется символ ∪ . Так, например, дуги ACBи ADB обозначаются: ∪ACB и ∪ADB
Центрами дуг называют центр окружности.

Дуги окружности измеряют в градусах, минутах и секундах. Сколько градусов, минут и секунд имеет данный центральный угол, столько же градусов, минут и секунд имеет и соответствующая дуга. Угловая величина дуги ACB(∪ACB) иногда обозначается символом ACB∪ .

Дуга, соответствующая центральному углу в 180° , называется полуокружностью.
Между дугами и соответствующими им центральными углами окружности имеют место следующие отношения:
1) Две дуги, принадлежащие окружностям одного и того же радиуса, равны в том и только том случае, когда их угловые величины равны.
2) В одной и той же окружности большему центральному углу соответствует большая дуга.

Длины и площади в окружности и круге

Длиной окружности называется предел последовательности периметров правильных многоугольников, вписанных в данную окружность, при неограниченном увеличении числа сторон.
Длина окружности L вычисляется по формуле

L=πd,

где d - диаметр окружности, или по формуле

L=2πr,

где r - радиус окружности.

Длина дуги окружности с угловой величиной в α° вычисляется по формуле

l=180πrα

Площадью круга называется предел последовательности площадей правильных многоугольников, вписанных в данную окружность, при неограниченном увеличении числа сторон.

Площадь круга радиуса r вычисляется по формуле

S=πr2

Сектором называется часть круга, ограниченная двумя его радиусами (рис. 1).

Площадь сектора с угловой величиной дуги α° вычисляется по формуле

Sсект=360πr2α

Часть круга, ограниченная хордой и стягиваемой ею дугой, называется сегментом (рис. 2).

Площадь сегмента вычисляется как разность площади сектора, ограниченного радиусами OA и OB и площади треугольника AOB (см. рис. 2).

Взаимное расположение двух окружностей

Пусть на плоскости даны две несовпадающие точки O1 и O2, расстояние между которымиh=| | O1O2| | , и две окружности с радиусами R1 и R2 и центрами в точках O1 и O2 соответственно. Для определенности положим, что R1≥R2 . При заданном расстоянии | | O1O2| | =h и заданных радиусах R1 и R2 могут быть следующие случав взаимного расположения окружностей:

1) Если h<R1−R2 , то окружности не пересекаются и круг радиуса R2 целиком принадлежит кругу радиуса R1 (рис. 1).

2) Если h=R1−R2 , то круг радиуса R2 целиком принадлежат кругу радиуса R1, а окружности имеют одну общую точку M (рис. 2). О таком расположении окружностей говорят, что они касаются друг друга изнутри в точке M.

3) Если h>R1+R2, то окружности не пересекаются, а круги не имеют ни одной общей точки (рис. 3).

4) Если h=R1+R2, то окружности (и круги) имеют одну общую точку M (рис. 4). О таком расположении окружностей говорят, что они касаются друг друга снаружи в точке M.

5) Если R1−R2<h<R1+R2 , то окружности имеют две общие точки. В этом случае говорят, что окружности пересекаются в точках M1 и M2 (рис. 5).

Отрезок O1O2 называется линией центров окружностей. Прямая, касательная к обеим окружностям и не пересекающая линии центров, называется внешней касательной двух данных окружностей.

В перечисленных выше пяти случаях внешняя касательная к двум окружностям может быть построена во всех случаях, кроме 1).

Прямая, касательная к обеим окружностям и пересекающая их линию центров, называется внутренней касательной двух данных окружностей. Внутренняя касательная может быть построена в случаях 3) я 4).

Если две окружности пересекаются (см. случай 5), рис. 5), то отрезок M1M2 называется общей хордой двух пересекающихся окружностей. Общая хорда двух пересекающихся окружностей взаимно перпендикулярна с линией центров и точкой пересечения делится на два равных отрезка:

| | M1K| | =| | KM2| |

Касательная и секущая

Прямая, принадлежащая плоскости окружности и имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к этой окружности.

Для того чтобы прямая была касательной к окружности, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна диаметру окружности и проходила через его конец.

Через любую точку, лежащую вне окружности и принадлежащую плоскости окружности, можно провести две различные касательные (рис. 1).

Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей. На рис. 2 AD и AD1 - секущие.

Если через точку A, лежащую вне круга, провести касательную в секущую (см. рис. 2), то отрезки касательной и секущей связаны равенством

|AB|2=|AD|·|AC|=| | AD1| | ·| | AC1| |

Вневписанная окружность

Вневписанной окружностью называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других сторон.

Биссектрисы пары внешних углов треугольника, смежных с углами β и γ (рис. 1), пересекаются в точке Oa. Через эту же точку проходит биссектриса внутреннего угла α. Точка Oa - центр вневписанной окружности, касающейся стороны a и продолжения сторон b и c находятся точки Ob и Oc - центры вневписанных окружностей, касающихся сторон b и c, соответственно (см. рис. 1).

Радиусы вневписанных окружностей ra,rb,rc, касающихся сторон a,b,c, соответственно, вычисляются по формулам

ra=SΔp−a=2SΔb+c−a

rb=SΔp−b=2SΔa+c−b

rc=SΔp−c=2SΔa+b−c
- Login or register to post comments
Основы геометрии

Хочу поделиться хорошей книгой для начинающих математиков-геометров!!! Книга содержит задачи и теорию из школьной математики 7-9 классов! Скачивайте файл и добавляйте задачи и решение на наш сайт!

Cкачать книгу Гордин 7-9
- Login or register to post comments
Решений: 2
Несколько полезных неравенств

1. $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac$ .

Доказательство.

$\begin{array}{l} \displaystyle a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac={1\over 2}(2a^2+2b^2+2c^2 -2ab-2ac-2bc)=\\[3mm] \displaystyle ={1\over 2}[(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2) +(b^2-2bc+c^2)]=\\[3mm] \displaystyle ={1\over 2}[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]\ge0. \end{array}$

2. $\displaystyle a,b>0\Rightarrow {a+b\over 2}\ge\sqrt{ab}$ .

Доказательство.

$\displaystyle {a+b\over 2}-\sqrt{ab}={a+b-2\sqrt{ab}\over 2}={(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\over 2}\ge0 .$

3. $\displaystyle a,b,c,d>0\Rightarrow {a+b+c+d\over 4}\ge\sqrt[4]{abcd}$ .

Доказательство.

$\begin{array}{l} \displaystyle {a+b+c+d\over 4}={{a+b\over 2}+{c+d\over 2}\over 2}\ge{\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\over 2}\ge\\[3mm] \ge\sqrt{\sqrt{ab}\cdot\sqrt{cd}}=\sqrt[4]{abcd}. \end{array}$

4. $\displaystyle a,b,c>0\Rightarrow {a+b+c\over 3}\ge\sqrt[3]{abc}$ .

Доказательство. Положим

$\displaystyle m={a+b+c\over 3} .$

Тогда
$\begin{array}{l} \displaystyle m={a+b+c+m\over 4}\ge\sqrt[4]{abcm},\\[2mm] m^4\ge abcm,\\ m^3\ge abc,\\ m\ge\sqrt[3]{abc}. \end{array}$

Примеры. Доказать

1. $a^4+b^4+c^4\ge abc(a+b+c)$ .

$\begin{array}{l} a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\ge ab\cdot bc+ab\cdot ac+ ac\cdot bc=abc(a+b+c). \end{array}$

2. $a,b,c\ge0\Rightarrow (a+b)(a+c)(b+c)\ge8abc$ .

$\left.\begin{array}{l} a+b\ge2\sqrt{ab},\\ b+c\ge2\sqrt{bc},\\ a+c\ge2\sqrt{ac}, \end{array}\right|\Rightarrow (a+b)(a+c)(b+c)\ge8abc.$

3. $\displaystyle a,b,c>0\Rightarrow(a+b+c)\left({1\over a}+{1\over b}+{1\over c}\right)\ge9$ .

$\begin{array}{l} a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc},\\ \displaystyle {1\over a}+{1\over b}+{1\over c}\ge3\sqrt[3]{{1\over a}\cdot{1\over b}\cdot{1\over c}},\\[3mm] \displaystyle (a+b+c)\left({1\over a}+{1\over b}+{1\over c}\right)\ge9. \end{array}$

Задачи.

Докажите неравенства:

1. $a_1,a_2,\dots,a_n\ge0,a_1a_2\dots a_n=1$

$(1+a_1)(1+a_2)\dots(1+a_n)\ge2^n.$

2. $a,b,c\ge0\Rightarrow ab+ac+bc\ge a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}$ .

3. $a,b,c\ge0\Rightarrow a^{16}+b^{16}+c^{16}\ge a^5b^5c^5(a+b+c)$ .

4. $a^4+b^4+2c^4\ge4abc^2$ .

5 $^{*}$ . $x,y,z\ge0,x+y+z=1\Rightarrow$

$\displaystyle \left(1+{1\over x}\right)\left(1+{1\over y}\right)\left(1+{1\over z}\right)\ge64 .$

6. $\displaystyle {a^3+b^3\over 2}\ge\left({a+b\over 2}\right)^3\ (a,b>0)$ .

7. $\sqrt[n]{2+\sqrt{3}}+\sqrt[n]{2-\sqrt{3}}>2$ .

8. Докажите, что если для уравнения дискриминант ${\cal D}$ неотрицателен, то это же верно и для уравнения

9. Пусть . Докажите, что по крайней мере одно из уравнений

$x^2+p_1x+q_1=0,\qquad x^2+p_2x+q_2=0$

имеет неотрицательный дискриминант.

10. Докажите, что

а) при любом значении $\lambda\ne-1$ дискриминант ${\cal D}$ уравнения

$(x-a)(x-c)+\lambda(x-b)(x-d)=0,$

где , положителен.

б) при любых значениях дискриминант уравнения

неотрицателен.
- Login or register to post comments
Неравенство Коши – Буняковского

$\displaystyle\sum_{i=1}^na_i^2\cdot\sum_{i=1}^nb_i^2\ge\left(\sum_{i=1}^na_ib_i\right)^2,$

В основе доказательства лежит утверждение, что дискриминант неотрицательной квадратичной функции неположителен.

Рассмотрим функцию

$\displaystyle f(x)=\sum_{i=1}^n(a_ix-b_i)^2=x^2\cdot\sum_{i=1}^na_i^2-2x\cdot \sum_{i=1}^na_ib_i+\sum_{i=1}^nb_i^2\ge 0.$

Неположительность дискриминанта этой функции и есть требуемое неравенство.

На неравенстве Коши основан один полезный прием оценки выражений вида $\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i\over y_i}$ :

$\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i\over y_i}\ge{\displaystyle\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2\over \displaystyle\sum_{i=1}^nx_iy_i}\quad (x_1,x_2,\ldots ,x_n,y_1,y_2,\ldots ,y_n>0).$

Действительно,
$\begin{array}{l} \displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i\over y_i}\cdot\sum_{i=1}^nx_iy_i=\sum_{i=1}^n \left(\sqrt{x_i\over y_i}\right)^2\cdot\sum_{i=1}^n \left(\sqrt{x_iy_i}\right)^2 \\[5mm] \displaystyle\ge\left(\sum_{i=1}^n\sqrt{x_i\over y_i}\cdot\sqrt{x_iy_i}\right)^2=\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2. \end{array}$

Задачи.

1. Пусть $a_1,a_2,\ldots ,a_n,b_1,b_2,\ldots ,b_n$ — вещественные числа. Доказать, что

$\displaystyle\sqrt{\sum_{i=1}^na_i^2}+\sqrt{\sum_{i=1}^nb_i^2}\ge\sqrt{\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)^2}$

(неравенство треугольника).

2. Пусть $a_1,a_2,\ldots ,a_n,b_1,b_2,\ldots ,b_n$ — вещественные числа. Доказать, что

$\displaystyle\left|\sqrt{\sum_{i=1}^na_i^2}-\sqrt{\sum_{i=1}^nb_i^2}\right| \le\sum_{i=1}^n|a_i-b_i|.$

3. Пусть $\alpha_1,\alpha_2,\ldots ,\alpha_n$ — вещественные числа. Доказать, что

$\displaystyle\left|\prod_{i=1}^n\sin\alpha_i+\prod_{i=1}^n\cos\alpha_i\right|\le 1.$

4. Пусть $a_k=\displaystyle{\sum_{i=1}^{100}}{i^k\over i+1}$ . Доказать, что

$a_k\cdot a_{k+2}>a_{k+1}^2.$

5. Пусть — положительные числа. Доказать, что

$\displaystyle {a\over 2b+c}+{b\over 2c+a}+{c\over 2a+b}\ge 1.$

6. Пусть — положительные числа. Доказать, что

$\displaystyle{a\over 2b+c}+{b\over 2c+d}+{c\over 2d+a}+{d\over 2a+b}\ge {4\over3}.$

7. Пусть $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ — положительные числа. Доказать, что

$\displaystyle\sum_{i=1}^n{a_i\over a_{i+1}+a_{i+2}}\ge{\displaystyle\left( \sum_{i=1}^na_i\right)^2\over\displaystyle\sum_{i=1}^na_i(a_{i+1}+a_{i+2})}\quad (a_{n+1}=a_1,a_{n+2}=a_2).$
- Login or register to post comments
Делимость, остатки
Делимость, остатки

Пусть даны целое число a и целое положительное число $b$. Тогда поделить число $a$ на $b$ с остатком значит найти такие целые числа q и r, что $0≤r<b$ и $a=bq+r$. Такая пара чисел всегда существует и единственна. Число q называется частным, а r – остатком от деления a на b. Остаток от деления числа a на b равен нулю тогда и только тогда, когда a делится на b.

Если числа a и b дают одинаковые остатки при делении на число m, то говорят, что a сравнимо с b по модулю m и записывают $a=b (mod m)$.

Два числа a и b сравнимы по модулю m тогда и только тогда, когда их разность делится на m.

Сравнения можно складывать и умножать. Если $a = b (mod m)$ и $c = d (mod m)$, n — произвольное натуральное число, то $a + c = b + d (mod m)$, $ac = bd (mod m)$ и $an=bn (mod m)$.

Каждое число сравнимо ровно с одним из чисел 0, 1, ..., m – 1 по модулю m.

Натуральное число называется простым, если у него только два делителя - единица и оно само p. Натуральное число n называется составным, если у него более двух делителей. Единица не является и простым, ни составным. Например 2, 3, 5, 7 — простые числа, а 4 = 2 · 2, 6, 8, 9 — составные.

Приведём решение задачи 8. Посмотрим, какие остатки может давать квадрат числа при делении на 8. Для этого достаточно посмотреть только остатки чисел 0, 1, ..., 7, так как если $a=b(mod m)$, то $a^2=b^2(mod m)$: $1^2=3^2=5^2 =7^2 =1(mod 8); 2^2=6^2=4(mod 8); 0^2=4^2=0(mod 8).$ Откуда видно, что сумма трёх квадратов не может быть сравнима с 7 по модулю 8, в частности не может быть равна 1999, так как 1999=7(mod 8).

Приведём решение задачи 4. Так как 8=1(mod 7), то

$8^{101}+8^{102}+...+8^{107}= 1^{101}+1^{102}+...+1^{107} = 1+1+...+1=7=0(mod 7)$, то есть делится на 7.

Задачи

1. Хулиганы Вася и Петя рвут школьную стенгазету. Вася рвёт каждый попавшийся ему кусок на 4 части, а Петя на 7 частей. На следующий день уборщица нашла 2000 кусков. Докажите, что не все куски найдены.

2. На шахматной доске отметили 16 клеток так, что на каждой горизонтали и на каждой вертикали оказалось по 2 отмеченные клетки. Докажите, что на отмеченные клетки можно так поставить 8 белых и 8 чёрных ладей (по одной на каждую клетку), чтобы на каждой вертикали и на каждой горизонтали стояло по одной белой и одной чёрной ладье.

3. Докажите, что существуют 1999 последовательных натуральных составных чисел.

4. Можно ли переставив цифры ненулевой степени двойки получить степень тройки?

5. Докажите, что при нечётном n число $11n+12n$ делится на 23.

6. Докажите, что при любом натуральном n число $n^7–n$ делится на 7.

7. Семь целых чисел таковы, что сумма любых шести из них делится на 5. Докажите, что все они делятся на 5.

8. Через точку внутри угла проведите прямую так, чтобы точка оказалась серединой отрезка, высекаемого углом на прямой.

и еще задачки
1. Какой цифрой оканчивается число 9999^{999^99⁹} (операции возведения в степень, если не расставлены скобки, выполняются справа налево)?
2. Найдите последнюю цифру числа 1³ + 2³ + … + 99³.
3. Длины x и y катетов и z гипотенузы прямоугольного треугольника — натуральные числа. Докажите, что xy делится на 12.
4. Докажите, что если натуральное число n имеет ровно s делителей, то произведение всех делителей числа n равно√n^s. а) Докажите теорему Софи Жермен: число n⁴ + 4 составное при всех натуральных n [кроме 1]. б) Докажите, что число n⁴ + 4m⁴ составное при всех натуральных m и n [кроме m=1, n=1].
5. Докажите, что среди чисел вида 3k − 1 (k — натуральное) бесконечно много простых.
Обобщением этого факта является теорема Дирихле: если числа a и d взаимно просты, то в арифметической прогрессии с первым членом a и разностью d (т. е. среди чисел вида dk + a) бесконечно много простых чисел.
1. Докажите, что при любом нечётном n число 1ⁿ + 2ⁿ + … + nⁿ делится на 1 + 2 + … + n.
2. Докажите, что никакое простое число нельзя представить двумя различными способами в виде суммы двух квадратов натуральных чисел.
- Login or register to post comments
Решений: 2
Основы комбинаторики
Комбинаторика - это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиально возможное количество различных вариантов развития событий.

Основная формула комбинаторики

Пусть имеется $k$ групп элементов, причем $i$-я группа состоит из $n_i$ элементов. Выберем по одному элементу из каждой группы. Тогда общее число $N$ способов, которыми можно произвести такой выбор, определяется соотношением $N=n_1*n_2*n_3*...*n_k.$
1. Пример 1. Поясним это правило на простом примере. Пусть имеется две группы элементов, причем первая группа состоит из $n_1$ элементов, а вторая - из $n_2$ элементов. Сколько различных пар элементов можно составить из этих двух групп, таким образом, чтобы в паре было по одному элементу от каждой группы? Допустим, мы взяли первый элемент из первой группы и, не меняя его, перебрали все возможные пары, меняя только элементы из второй группы. Таких пар для этого элемента можно составить $n_2$. Затем мы берем второй элемент из первой группы и также составляем для него все возможные пары. Таких пар тоже будет $n_2$. Так как в первой группе всего n1 элемент, всего возможных вариантов будет $n_1*n_2$.
2. Пример 2. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?
Решение: $n_1=6$ (т.к. в качестве первой цифры можно взять любую цифру из 1, 2, 3, 4, 5, 6), $n_2=7$ (т.к. в качестве второй цифры можно взять любую цифру из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6), $n_3=4$ (т.к. в качестве третьей цифры можно взять любую цифру из 0, 2, 4, 6).

Итак, $N=n_1*n_2*n_3=6*7*4=168$.

В том случае, когда все группы состоят из одинакового числа элементов, т.е. $n_1=n_2=...n_k=n$ можно считать, что каждый выбор производится из одной и той же группы, причем элемент после выбора снова возвращается в группу. Тогда число всех способов выбора равно $n*k$.Такой способ выбора носит название выборки с возвращением.

Пример 3. Сколько всех четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 5, 6, 7, 8?

Решение. Для каждого разряда четырехзначного числа имеется пять возможностей, значит N=5*5*5*5=54=625.

Рассмотрим множество, состоящие из n элементов. Это множество будем называть генеральной совокупностью.

Определение 1. Размещением из n элементов по m называется любой упорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Пример 4. Различными размещениями из трех элементов {1, 2, 3} по два будут наборы (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3),(3, 2). Размещения могут отличаться друг от друга как элементами, так и их порядком.

Число размещений обозначается Anm и вычисляется по формуле:

Замечание: n!=1*2*3*...*n (читается: "эн факториал"), кроме того полагают, что 0!=1.

Пример 5. Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные?

Решение: т.к. нечетных цифр пять, а именно 1, 3, 5, 7, 9, то эта задача сводится к выбору и размещению на две разные позиции двух из пяти различных цифр, т.е. указанных чисел будет:

Определение 2. Сочетанием из n элементов по m называется любой неупорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Пример 6. Для множества {1, 2, 3}сочетаниями являются {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.

Число сочетаний обозначается $C_n^m$

и вычисляется по формуле: $C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

Пример 7. Сколькими способами читатель может выбрать две книжки из шести имеющихся?

Решение: Число способов равно числу сочетаний из шести книжек по две, т.е. равно:

Определение 3. Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов.

Пример 7a. Всевозможными перестановками множества, состоящего из трех элементов {1, 2, 3} являются: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Число различных перестановок из n элементов обозначается Pn и вычисляется по формуле Pn=n!.

Пример 8. Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Решение: эта задача о числе перестановок семи разных книг. Имеется P7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 способов осуществить расстановку книг.

Обсуждение. Мы видим, что число возможных комбинаций можно посчитать по разным правилам (перестановки, сочетания, размещения) причем результат получится различный, т.к. принцип подсчета и сами формулы отличаются. Внимательно посмотрев на определения, можно заметить, что результат зависит от нескольких факторов одновременно.

Во-первых, от того, из какого количества элементов мы можем комбинировать их наборы (насколько велика генеральная совокупность элементов).

Во-вторых, результат зависит от того, какой величины наборы элементов нам нужны.

И последнее, важно знать, является ли для нас существенным порядок элементов в наборе. Поясним последний фактор на следующем примере.

Пример. На родительском собрании присутствует 20 человек. Сколько существует различных вариантов состава родительского комитета, если в него должны войти 5 человек?

Решение: В этом примере нас не интересует порядок фамилий в списке комитета. Если в результате в его составе окажутся одни и те же люди, то по смыслу для нас это один и тот же вариант. Поэтому мы можем воспользоваться формулой для подсчета числа сочетаний из 20 элементов по 5.

Иначе будут обстоять дела, если каждый член комитета изначально отвечает за определенное направление работы. Тогда при одном и том же списочном составе комитета, внутри него возможно 5! вариантов перестановок, которые имеют значение. Количество разных (и по составу, и по сфере ответственности) вариантов определяется в этом случае числом размещений из 20 элементов по 5.

Задачи для самопроверки

1. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?

2. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?

3. В классе десять предметов и пять уроков в день. Сколькими способами можно составить расписание на один день?

4. Сколькими способами можно выбрать 4 делегата на конференцию, если в группе 20 человек?

5. Сколькими способами можно разложить восемь различных писем по восьми различным конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?

6. Из трех математиков и десяти экономистов надо составить комиссию, состоящую из двух математиков и шести экономистов. Сколькими способами это можно сделать?

и еще задачки:
1. В школьной столовой 5 кранов для умывания. Каждый может быть закрыт или открыт. Сколькими способами может течь вода в столовой?
2. Некое современное здание имеет форму куба, стоящего на четырёх колоннах. Имеется 6 красок. Сколькими способами можно покрасить грани здания этими красками в 6 цветов? (Каждая грань красится целиком в один цвет, разные грани красятся в разные цвета.)
3. а) В заборе 20 досок, каждую надо покрасить в синий, зелёный или жёлтый цвет, причём соседние доски красятся в разные цвета. Сколькими способами это можно сделать?
  
  б) А если требуется ещё, чтобы хоть одна из досок обязательно была синей?
4. а) Сколько можно составить различных (не обязательно осмысленных) слов из k букв, используя русский алфавит?
  
  б) А если потребовать, чтобы буквы в словах не повторялись?
  
  в) Сколькими способами можно переставить буквы в слове из k различных букв?
5. а) Сколько существует 10-значных чисел, не содержащих цифру 1?
  
  б) Сколько из них содержит цифру 9 (хотя бы одну)?
6. а) Десять девушек водят хоровод. Сколькими способами они могут встать в круг? б) Сколько ожерелий можно составить из 10 различных бусин? в)* А если в ожерелье всего 3 белых и 7 синих бусин?
7. а) Сколько строк можно составить из 0 и 1, чтобы в каждой строке было 10 цифр?
  
  б) На дереве растут 10 яблок. Сколькими способами можно сорвать несколько из них?
8. Меню в школьном буфете постоянно и состоит из n разных блюд. Петя хочет каждый день выбирать себе завтрак по-новому (за раз он может съесть от 0 до n разных блюд).
  
  а) Сколько дней ему удастся это делать?
  
  б) Сколько блюд он съест за это время?
  
  в) Вася решил последовать примеру Пети, но съедать каждый день нечетное число блюд. Сколько дней ему удастся это делать?
  
  г) Сколько блюд он съест за это время?
9. а) Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 различных ладей так, чтобы они не били друг друга?
  
  б) Ответом в предыдущем пункте является квадрат некоторого числа. Объясните это явление.
10. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 неразличимых ладей так, чтобы они не били друг друга?
11. Фабрика игрушек выпускает разноцветные кубики. У всякого кубика каждая грань окрашена целиком одной из шести красок, имеющихся на фабрике, причём разные грани одного кубика окрашены разными красками. Сколько видов кубиков выпускает фабрика?
12. Фабрика из предыдущей задачи начала выпуск параллелепипедов 1×1×2, склеивая по два из выпускаемых ею кубиков. Сколько получится различных видов новой игрушки?
13. Решите две предыдущие задачи, заменив куб на тетраэдр (и 6 цветов на 4).
14. а) Какое наибольшее число неразличимых слонов можно расставить на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?
  
  б) Докажите, что число способов такой расстановки — квадрат некоторого числа.
  
  в)* Найдите это число. (Сначала решите такую же задачу для досок 2×2, 3×3, 4×4, ...)
15. Сколько существует строк из 20 цифр, в которых встречаются только нули и единицы, причём никакие два нуля не стоят рядом?
16. В таблицу размера k×l записывают числа +1 и -1 так, чтобы произведение чисел в каждой строке и в каждом столбце равнялось 1. Сколькими способами это можно сделать?
- Login or register to post comments
Решений: 17
Основы Теорий чисел - Делимость, Свойства сравнений, Теоремы Ферма и Эйлера, Вильсон

1. Делимость целых чисел. Свойства делимости. Теорема о делении с остатком

Определение. Пусть — целые числа. Говорят, что число делится на , если можно представить в виде , где — целое число.

Иначе: — делитель .

Обозначение: $a\vdots b$ .

Свойства делимости

Пусть — целые числа, число — простое.

1. Если в равенстве два числа делятся на , то и третье число делится на .

2. Если $a\vdots b$ , то $ac\vdots bc$ .

3. Если $a\vdots b$ и $b\vdots c$ , то $a\vdots c$ .

4. Если $ab\vdots p$ , то либо $a\vdots p$ , либо $b\vdots p$ .

Пример. Доказать, что если $a+b+c\vdots m$ и $a^2+b^2+c^2\vdots m$ , то и $a^4+b^4+c^4\vdots m$ .

Решение.

$\begin{array}{l} (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)\Rightarrow2(ab+ac+bc)\vdots m,\\ 4(ab+bc+ac)^2=4(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)+8abc(a+b+c), \end{array}$
откуда

и

$\begin{array}{l} 2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)\vdots m,\\ a^4+b^4+c^4=a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2) \Rightarrow\\ a^4+b^4+c^4\vdots m. \end{array}$

Теорема. Всякое целое представляется единственным способом с помощью целого $b\ne0$ равенством вида , где — целые, $0\le r<|b|$ . Число называется частным, — остатком от деления на .

Пример. Может ли число делиться на , а при делении на давать в остатке ?

Решение. Числа, делящиеся на 8, имеют вид , $k\in\mathbb{Z}$ , а при делении на дающие в остатке , — вид , $l\in\mathbb{Z}$ . Рассмотрим все остатки при делении на Н.О.К.. Делятся на числа вида , и ни одно из них при делении на не дает в остатке .

2. Сравнения и их свойства

Определение. Пусть и — целые числа, — натуральное число. Говорят, что сравнимо с по модулю , если при делении на они дают одинаковые остатки.

Обозначение: $a\equiv b\pmod{m}$ или $a\equiv_m b$ .

Пример. $45\equiv75\pmod{10},182\equiv-4\pmod{6}$ .

Теорема. сравнимо с по модулю тогда и только тогда, когда $a-b\vdots m$ .

Свойства сравнений

1) $a\equiv a\pmod{m}$ (рефлексивность).

2) $a\equiv b\pmod{m}\Longrightarrow b\equiv a\pmod m$ (симметричность).

3) $a\equiv b\pmod{m},b\equiv c\pmod{m}\Longrightarrow a\equiv c\pmod{m}$ (транзитивность).

4) $a\equiv b\pmod{m},c\equiv d\pmod{m}\Longrightarrow a+c\equiv b+ d\pmod{m}$ , $a-c\equiv b-d\pmod{m}$ , $ac\equiv bd\pmod{m}$ .

5) $ac\equiv bc\pmod{m}$ , \nod $(c,m)=1\Longrightarrow a\equiv b\pmod{m}$ .

Упражнение. Какие остатки могут давать квадраты целых чисел при делении на ; кубы целых чисел при делении на , на ?

Пример. Доказать, что если — простое число, то

$a\equiv b\pmod{p^n}\Rightarrow a^p\equiv b^p\pmod{p^{n+1}}.$

Решение. По условию, $a-b\vdots p^n$ . Тогда так как

$a^p-b^p=(a-b)(a^{p-1}+a^{p-2}b+a^{p-3}b^2+\dots+b^{p-1}),$

остается доказать, что второй множитель делится на .

Поскольку $a\equiv b\pmod{p}$ , имеем

$a^{p-1}+a^{p-2}b+a^{p-3}b^2+\dots+b^{p-1}\equiv pa^{p-1}\pmod{p}.$

Отсюда получаем требуемое.

3. Теоремы Ферма и Эйлера

Теорема (Ферма). Если простое и не делится на , то

$a^{p-1}\equiv 1 \pmod{p} .$

Теорема (Эйлер). Для любых натуральных взаимно простых и выполняется

$a^{\phi(m)}\equiv1\ \pmod{m} .$

Следствие. Пусть $a\equiv b\pmod{m}$ , $p\equiv n\pmod{\varphi(m)}$ , Н.О.Д.. Тогда $a^n\equiv b^p\pmod{m}$ .

Пример. Найти $2^{2000}\pmod{25}$ .

Решение.

$\varphi(25)=20,2000\equiv0\pmod{20},2^{2000}\equiv2^0\pmod{20} \equiv1\pmod{20} .$

Пример. Доказать, что если $a+b+c\vdots30$ , то $a^5+b^5+c^5\vdots30$ .

Решение. $30=2\cdot3\cdot5$ .

$a^5\equiv a\pmod{2,3,5} .$

То же для и . — числа попарно взаимно простые.

4. Примеры решения нелинейных уравнений

1. Решить уравнение в натуральных числах

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители:

Представим в виде произведения двух натуральных множителей всеми возможными способами:

$28=1\cdot28=2\cdot14=4\cdot7=7\cdot4=14\cdot2=28\cdot1.$

Приравниваем один из множителей слева одному, другой — другому. Решаем полученные системы. Возможно упрощение: здесь числа и одинаковой четности.

Ответ. .

Замечание. При поиске целых решений рассматривали бы также разложения $(-1)\cdot(-28)=(-2)\cdot(-14)=$ и т.д.

2. Решить в целых числах уравнение

Решение. На множители не раскладывается. Выразим :

$y=x-3+\frac{5}{x+3}\qquad(x\ne-3) .$

При целом также будет целым, если $5\vdots(x+3)$ , что возможно при $x+3=\pm1,\pm5$ .

Ответ. $(\pm2,0),(-4,-12),(-8,-12)$ .

3. Доказать, что уравнение не имеет целых решений.

Решение. Сравнения по модулю : $-y^2\equiv1\pmod{3}$ , что невозможно, так как квадраты целых чисел при делении на могут давать остатки либо , либо .

5. Теорема Вильсона

Теорема. Число — простое тогда и только тогда, когда выполняется сравнение

$(p-1)!+1\equiv0\pmod{p} .$

Пример (теорема Лейбница). Доказать, что число простое тогда и только тогда, когда

$(p-2)!\equiv1\pmod{p}.$

Решение. По теореме Вильсона — простое $\Leftrightarrow$

$(p-1)!+1\equiv0\pmod{p}.$

Тогда имеем

$(p-1)!+1=(p-2)!(p-1)+1=p(p-2)!-(p-2)!+1\equiv-(p-2)!+1\pmod{p}.$

Задачи.

1. Найдите остаток от деления

а) $36^{2002}+95^{2002}$ на ; б) $2^{2000}$ на .

2. Найдите

а) последнюю цифру числа $1989^{1989}$ ;

б) две последние цифры числа $9^{9^{9^9}}$ .

3. Докажите (без калькулятора), что следующие числа составные:

а) $711\dots117$ (всего 2004 единицы);

б) $2\cdot2006^2+13\cdot2005\cdot2006+11\cdot2005^2$ .

в) $4^{545}+545^4$ .

4. Докажите, что в последовательности $11,111,1111,11111,\ldots$ нет квадратов целых чисел.

5. а) При каких натуральных значениях число делится на ?

б) Докажите, что число $A=\underline{a_0a_1\dots a_{n-2}a_{n-1}a_n}_{10}$ делится на тогда и только тогда, когда число $\underline{a_0a_1\ldots a_{n-2}}+\underline{a_{n-1}a_n}$ делится на .

6. Решите уравнения в целых числах:

а) ; б) .

7. Пусть — целое число, . Делится ли $n^{n-1}-1$ на ?

8. На 44 деревьях, расположенных по окружности, сидели 44 веселых чижа (на каждом дереве — по чижу). Время от времени два чижа одновременно перелетают на соседние деревья в разных направлениях (один — по часовой стрелке, а другой — против). Докажите, что чижи не смогут собраться на одном дереве.

9. Докажите, что уравнение

не имеет целых решений.

10. Пусть число — простое, . Докажите, что

$\left[\left(\frac{p-1}{2}\right)!\right]^2-1\vdots p;$

если же — простое, , докажите, что

$\left[\left(\frac{p-1}{2}\right)!\right]^2+1\vdots p.$

11. Натуральное число $n\vdots24$ . Докажите, что сумма всех натуральных делителей числа (включая и ) также делится на .

12. Найдите остаток от деления целой части числа $\displaystyle\frac{10^{20000}}{10^{100}+3}$ на .

13. Найдите все решения уравнения

$x^{n+1}-(x+1)^{n}=2001$

в натуральных числах .

источник: hijos.ru
- Login or register to post comments
Свойства неравенств

Определение. означает, что — положительное число, означает, что — отрицательное число, $a\ge b$ означает, что или .

Свойства неравенств

Свойства неравенств следуют из свойств вещественных чисел.

1. Для любых чисел и справедливо одно и только одно из следующих трех утверждений (трихотомия)

2. положительно $\Leftrightarrow a>0$ ,

отрицательно $\Leftrightarrow a<0$ .

3. Транзитивность

$\left.\begin{array}{l} a>b\\ b>c \end{array}\right|\Rightarrow a>c.$

4. $a>b\Leftrightarrow b<a$ .

Доказательство.

$\begin{array}{l} a>b\Rightarrow a-b>0\Rightarrow b-a<0\Rightarrow b<a,\\ b<a\Rightarrow b-a<0\Rightarrow a-b>0\Rightarrow a>b. \end{array}$

5. $a>b\Rightarrow a+c>b+c$ .

Доказательство. $a>b\Rightarrow a-b>0\Rightarrow (a+c)-(b+c)>0\Rightarrow a+c>b+c.$

6. $a>b,c>d\Rightarrow a+c>b+d$ .

Доказательство.

$\begin{array}{l} a>b\Rightarrow a-b>0,\\ c>d\Rightarrow c-d>0. \end{array}$

Сложение положительных чисел

$(a-b)+(c-d)>0\Rightarrow a+c>b+d.$

7. а) $a>b,c>0\Rightarrow ac>bc$ ,

б) $a>b,c<0\Rightarrow ac<bc$ .

Доказательство. $a>b\Rightarrow a-b>0$ . Пользуемся свойствами умножения положительных чисел.

Если , то $(a-b)c>0\Rightarrow ac-bc>0\Rightarrow ac>bc$ ,

если $c<0, то (a-b)c<0\Rightarrow ac-bc<0\Rightarrow ac<bc$ .

8. $a>b\ge0,c>d\ge0\Rightarrow ac>bd$ .

Доказательство.

$\left.\begin{array}{l} a>b,c>0\Rightarrow ac>bc,\\ c>d,b\ge0\Rightarrow bc\ge bd, \end{array}\right|\Rightarrow ac>bd.$

Следствие. $a>b\ge0,n\in\mathbb{N}\Rightarrow a^n>b^n$ .

Доказательство. Нужно перемножить неравенство раз.

9. $\displaystyle a>b,a,b>0\Rightarrow {1\over a}<{1\over b}$ .

Доказательство.

$\displaystyle\left.\begin{array}{l} \displaystyle {1\over a}-{1\over b}={b-a\over ab},\\[3mm] b-a<0,\ ( a>b),\\ ab>0 \end{array}\right|\Rightarrow {b-a\over ab}<0\Rightarrow {1\over a}<{1\over b}.$
- Login or register to post comments
Решений: 1
Линейное представление НОД. Простые и составные числа

Теорема. Пусть – целые числа, НОД. Число можно представить в виде

$d=am+bn,\mbox{ \rm где }m,n$ — целые числа

Доказательство. Пусть — множество всех чисел, которые можно получить из и с помощью сложения и вычитания. Тогда, если $x\in A,y\in A$ , то $x-y\in A,x+y\in A$ . Так как в алгоритме Евклида

$r_1=a-bq_1,r_2=b-r_1q_2,r_3=r_1-r_2q_3,\dots,r_n=r_{n-2}-r_{n-1}q_n,$

то

$r_1\in A\Longrightarrow r_2\in A\Longrightarrow r_3\in A\Longrightarrow\dots\Longrightarrow r_n\in A.$

Но .

Следствия.

1. НОД двух чисел делится на любой общий делитель этих чисел.

2. Уравнение , где — целые коэффициенты, — целочисленные неизвестные, разрешимо в том и только в том случае, если делится на НОД.

Простые и составные числа

Определение. Целое число называется составным, если оно делится на какое-нибудь целое число, отличное от и , 1 и -1.

Целое число называется простым, если оно не является составным и не равно $\pm1$ .

Теорема. Всякое составное натуральное число можно представить в виде произведения простых натуральных чисел.

Доказательство. Пусть есть такие составные натуральные числа, которые нельзя представить в виде произведения простых. Выберем из этих чисел самое маленькое и обозначим его через . Так как — составное число, то у него есть делитель , который больше 1 и меньше .

$\begin{array}{l} m\vdots a,\quad 1<a<m\\ m=ab,1<b<m. \end{array}$

Числа натуральные. Каждое из чисел либо является простым, либо это составное, меньшее , которое поэтому раскладывается на простые множители. Но тогда и раскладывается на простые множители. Получили противоречие.

Теорема. Если – целые числа, — простое число, $ab\vdots p$ , то $a\vdots p$ или $b\vdots p$ .

Доказательство. Пусть ни , ни не делятся на . Тогда
НОД,НОД. Следовательно, можно подобрать такие целые числа и и такие целые числа и , что

Перемножим эти равенства почленно:

Каждое слагаемое в левой части равенства делится на , а $1\not\vdots p$ . Получили противоречие.

Теорема. Пусть — составное натуральное число и

$n=p_1p_2\cdot\ldots\cdot p_k,\ n=q_1q_2\cdot\ldots\cdot q_l,$

где $p_1,\dots,p_k,q_1,\ldots,q_l$ — простые натуральные числа. Пусть

$p_1\le p_2\le\ldots\le p_k,\ q_1\le q_2\le\ldots\le q_l.$

Тогда и $p_1=q_1,p_2=q_2,\ldots,p_k=q_k$ .

Доказательство. $p_1p_2\ldots p_k=q_1q_2\ldots q_l$
Если в левой и правой части есть равные сомножители, сократим на них и получим равенство такого же вида, в котором ни один сомножитель в левой части не равен ни одному сомножителю в правой части (если не все сомножители сократятся).

Правая часть равенства делится на . Так как — простое число, то хотя бы один сомножитель в правой части делился на (по предыдущей теореме). В то же время все сомножители в правой части — это простые числа, не равные . Следовательно, они не делятся на . Противоречие.

Пусть

$a=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\ldots p_s^{k_s},\ b=q_1^{l_1}q_2^{l_2}\ldots p_t^{l_t}$

— канонические разложения чисел и .

В каноническое разложение НОД входят те и только те простые числа, которые входят в оба разложения, причем из двух показателей выбирается меньший.

Простое число входит в каноническое разложение числа с показателем, равным

$\displaystyle\left[{n\over p}\right]+\left[{n\over p^2}\right]+\left[{n\over p^3}\right]+\left[{n\over p^4}\right]+\ldots,$

где суммирование ведется до тех пор, пока целая часть не станет равной нулю.

Задачи.

1. Доказать, что делится на 30 для любого целого .

2. Доказать, что $n^3+3n^2+5n+3\vdots3$ для любого целого .

3. Доказать, что сумма кубов трех последовательных чисел кратна 9.

4. Доказать, что для любого целого

$7\cdot5^{2n}+12\cdot 6^n\vdots19.$

5. Доказать, что для любого целого

$6^{2n}+19^n-2^{n+1}\vdots17.$

6. Доказать, что при любом простом натуральном число $p^2-1\vdots24$ .

7. Доказать, что для любого натурального

$4^{n}+15n-1\vdots9.$

8. Доказать, что для любого натурального нечетного

$n^3+3n^2-n-3\vdots48.$

9. Какие остатки могут давать при делении на 9 кубы целых чисел?

10. Доказать, что для любого натурального

$n^3+5n\vdots3.$

11. Доказать, что для любого натурального

$5^{n+2}+26\cdot5^{n}+8^{2n+1}\vdots59.$

12. Доказать, что ни при каком целом не делится на 169.

13. Доказать, что если $m^2+n^2\vdots3$ , то целые числа и также делятся на 3.

14. Доказать, что для любого целого

$n^5+4n^3+3n{ \rm и } n^4+3n^2+1$

не имеют общих делителей, отличных от 1.

15. Два двузначных числа, оканчивающихся одной и той же цифрой, таковы, что при делении на 9 частное каждого из них равно остатку другого. Найти все числа, удовлетворяющие этим условиям.

16. Доказать, что в любой из последовательностей

а) $2^2+1,4^2+1,6^2+1,8^2+1,\ldots$

б) $4^2+1,14^2+1,24^2+1,34^2+1,\ldots$

содержится бесконечно много составных чисел.

17. Разложить число $2^{1982}+1$ на два натуральных множителя, каждый из которых не меньше 1000.

18. Доказать, что число $4^{545}+545^4$ составное.

19*. Натуральные числа такие, что . Доказать, что число

— составное.

20. Доказать, что число $1010\ldots101$ ( нулей и единиц) составное $(k\ge2)$ .

21. Доказать, что число

$\underbrace{11\ldots1}_{n { \rm цифр } }2\underbrace{11\ldots1}_{n { \rm цифр }}$

(цифр там, где отмечено фигурной скобкой, по ) составное.

22. Представить в каноническом виде, найти НОД

а) 4828896 и 27147960;

б) 22754277 и 7484400.

23. Доказать, что для любого натурального

$10^{n}+45n-1\vdots27.$

24. Доказать, что для любого натурального

$3^{3n+2}+7^{n}\vdots10.$

25. Доказать, что нечетная степень 48, увеличенная на 1, кратна 7.

26. Найти все простые , для которых и также являются простыми.

27. Натуральные числа таковы, что ,

$a+b\vdots c,a+c\vdots b,b+c\vdots a.$

Доказать, что .

28. На какую наибольшую степень числа 3 делится произведение всех четных четырехзначных чисел?

источник; http://hijos.ru/
- Login or register to post comments
Метод математической индукции (ММИ)

Рассмотрим на примере, как работает метод.

Задача. Доказать, что для всех натуральных справедливо равенство

$\displaystyle {1\over 1\cdot2\cdot3}+{1\over 2\cdot3\cdot4}+\dots+{1\over n(n+1)(n+2)}= {n(n+3)\over 4(n+1)(n+2)}.$

Решение. Обозначим через левую часть равенства, а через — его правую часть.

1) Докажем сначала, что .

Доказательство.

$\begin{array}{l} \displaystyle s_1={1\over 1\cdot2\cdot3}={1\over 6}\\[3mm] \displaystyle z_1={1\cdot(1+3)\over 4\cdot(1+1)\cdot(1+2)}={1\cdot4\over 4\cdot2\cdot3}={1\over 6}. \end{array}$

2) Дано: . Нужно доказать: $s_{k+1}=z_{k+1}$ .

Доказательство.

$\begin{array}{l} \displaystyle z_k={k(k+3)\over 4(k+1)(k+2)}; z_{k+1}={(k+1)(k+4)\over 4(k+2)(k+3)}\\[3mm] \displaystyle s_{k+1}=s_k+{1\over (k+1)(k+2)(k+3)}=z_k+{1\over (k+1)(k+2)(k+3)}=\\[3mm] \displaystyle ={k(k+3)\over 4(k+1)(k+2)}+{1\over (k+1)(k+2)(k+3)}={k(k+3)^2+4\over 4(k+1)(k+2)(k+3)}=\\[3mm] \displaystyle ={k^3+9k+6k^2+4\over 4(k+1)(k+2)(k+3)}\\[3mm] \displaystyle z_{k+1}={(k+1)^2(k+4)\over 4(k+1)(k+2)(k+3)}={k^3+6k^2+9k+4\over 4(k+1)(k+2)(k+3)}\\[3mm] s_{k+1}=z_{k+1}. \end{array}$

Тем самым, утверждение доказано для любого , поскольку из его истинности для следует, что оно истинно для , из его истинности при следует его истинность для и т.д.

Предположим, что нам нужно доказать последовательность утверждений

$T_1,T_2,\dots,T_n,\dots$

Для того чтобы доказать все эти утверждения, достаточно доказать две теоремы:

1. — верное утверждение.

2. Если для какого-либо натурального верно утверждение , то верно и утверждение $T_{k+1}$ .

Такой способ доказательства последовательности утверждений называется методом математической индукции. Первая часть метода называетсябазой индукции, вторая — индукционным переходом.

Теорема. Если последовательности и таковы, что , и для любого натурального

$s_{k+1}-s_k=z_{k+1}-z_k,$

то для всех натуральных выполняется равенство .

С помощью метода математической индукции можно также доказывать неравенства.

Теорема. Если последовательности и таковы, что , и для любого натурального

$s_{k+1}-s_k>z_{k+1}-z_k,$

то для всех натуральных выполняется неравенство .

Пример. Доказать, что для всех натуральных $n\ge2$

$\displaystyle {1\over 1^2}+{1\over 2^2}+{1\over 3^2}+\dots+{1\over n^2}<2-{1\over n}.$

Доказательство.
1.

Действительно,

$\left.\begin{array}{l} \displaystyle s_2=1+{1\over 4}={5\over 4}\\[3mm] \displaystyle z_2=2-{1\over 2}={3\over 2} \end{array}\right|\Longrightarrow s_2<z_2$

2.

$\begin{array}{l} \displaystyle s_{k+1}-s_k={1\over (k+1)^2},\\[3mm] \displaystyle z_{k+1}-z_k=2-{1\over k+1}-\left(2-{1\over k}\right) ={1\over k}-{1\over k+1}={1\over k(k+1)},\\[3mm] s_{k+1}-s_k<z_{k+1}-z_k. \end{array}$

Теорема. Если последовательности и с положительными членами таковы, что , и для любого натурального

$\displaystyle {s_{k+1}\over s_k}>{z_{k+1}\over z_k},$

то для всех натуральных выполняется неравенство .

Задачи. Доказать

1. $\displaystyle 1^2+2^2+\dots+n^2={n(n+1)(2n+1)\over 6}$ .

2. $1+2+2^2+\dots+2^{n-1}=2^n-1$ .

3. $2!\cdot4!\times\dots\times(2n)!>[(n+1)!]^n$ при .

4. $\displaystyle 1+{1\over \sqrt{2}}+{1\over \sqrt{3}}+\dots+{1\over \sqrt{n}}>\sqrt{n}$ при $n\ge2$ .

5. Доказать, что сумма всевозможных произведений квадратов натуральных чисел, взятых по два (от 1 до ), равна

$\displaystyle {n(n^2-1)(4n^2-1)(5n+6)\over 360}.$

6. Доказать, что для всех натуральных

$\sqrt{\displaystyle\underbrace{4+\sqrt{4+\sqrt{4+\dots+\sqrt{4}}}}_{n}}<3$ (четверок — ).

7. Доказать, что для всех натуральных

$\displaystyle 1^5+2^5+\dots+n^5={1\over 12}n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1).$

8. Доказать, что для всех натуральных

$\displaystyle {1^2\over 1\cdot3}+{2^2\over 3\cdot5}+\dots+{n^2\over(2n-1)(2n+1)}={n(n+1)\over 2(2n+1)}.$

9. Доказать, что для всех натуральных $\displaystyle2^{n-1}\cdot n!\le n^n.$

10. Доказать, что сторона правильного вписанного в окружность -угольника выражается формулой
$a_{2^n}=R\sqrt{2-\sqrt{\displaystyle\underbrace{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}_{n-2}}},$ где — радиус этой окружности (двоек — ).

11. Доказать, что прямых, пересекающихся в одной точке и лежащих в одной плоскости, делят эту плоскость на частей.

12. Доказать, что различных прямых, лежащих в одной плоскости, разбивают эту плоскость на области, которые могут быть закрашены красной и синей краской так, что все смежные области (т.е. области, имеющие общий отрезок прямой) будут закрашены разными красками.

13. Доказать, что если $S_1,S_2,S_3,\dots,S_n$ — суммы членов геометрических прогрессий, у которых первые члены 1, а знаменатели соответственно равны $1,2,3,\dots,n$ , то

$S_1+S_2+2S_3+3S_4+\dots+(n-1)S_n=1^n+2^n+3^n+\dots+n^n.$

14. Доказать, что сумма всех членов каждой горизонтальной строки таблицы

$\begin{array}{lllllll} 1&&&&&&\\ 2&3&4&&&&\\ 3&4&5&6&7&&\\ 4&5&6&7&8&9&10\\ \dots&&&&&& \end{array}$

равна квадрату нечетного числа.

15. Доказать, что произведение

$ P=(1+2)(3+4+5)(6+7+8+9)\ldots, $

состоящее из сомножителей, равно

$\displaystyle {(n!)^3(n+1)^2(n+2)\over 2^{n+1}}. $

16. Доказать, что сумма всевозможных парных произведений натуральных чисел $1,2,\ldots,n$ равна

$\displaystyle {(n-1)n(n+1)(3n+2)\over 24}. $

17. Доказать, что для любого натурального

$\displaystyle {4^n\over n+1}<{(2n)!\over (n!)^2}. $

источник: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/algebra-10-klass/2-metod-matematich...
- Login or register to post comments