Первый день
9.1. Натуральное число 
является произведением двух различных простых чисел, а сумма его делителей, считая 1, но не считая , равна 1000. Найдите все такие .
Решение:
Пусть 
, где 
и 
— различные простые числа. Тогда по условию задачи
откуда 
. Так как числа и — натуральные, то одно из них четно, а второе нечетно. Среди четных чисел есть только одно простое число — это число 
. Следовательно, 
или наоборот. Осталось убедиться, что число 
простое. Это действительно так. Оно не делится ни на одно из простых чисел 
. Следовательно, можем найти
.
Ответ: 
.
9.2. На стороне 
равнобедренного треугольника 
(
) взяли точки 
и 
( ближе к 
, чем ) такие, что 
и 
. Найдите 
.
Решение:
Обозначим 
.
, так как 
по условию.
— внешний угол треугольника 
, поэтому
.
(из треугольника ), или 
.
Запишем то же равенство иначе:
.
С учетом предыдущего равенства имеем
, или 
,
а именно это и требовалось найти (
).
Ответ: 
.
9.3. Докажите, что при любых отличных от нуля числах 
и 
хотя бы одно из квадратных уравнений 
, 
и 
имеет корень.
Решение:
Предположим, что ни одно из уравнений не имеет корней. Тогда дискриминанты всех этих уравнений отрицательны, откуда получаем неравенства
Левые части всех этих неравенств неотрицательны, следовательно, и правые тоже неотрицательны. Перемножим все три неравенства, получим
что невозможно. Тем самым, хотя бы одно из уравнений имеет корень.
9.4. Каждую грань кубика разбили на четыре одинаковых квадрата, а затем раскрасили эти квадраты в несколько цветов так, что квадраты, имеющие общую сторону, оказались закрашенными в различные цвета. Какое наибольшее количество квадратов одного цвета могло получиться?
Решение:
Рассмотрим вершину куба, к ней прилегают три квадрата. Очевидно, что никакие два из них не могут быть одного цвета. Всего вершин у куба 8, и к ним прилегают 24 квадрата (8 троек), вместе это дает все квадраты, на которые разбита поверхность куба. Тем самым, больше 8 квадратов покрасить одним цветом нельзя.
А вот пример такой раскраски куба, чтобы было 8 черных квадратов и выполнялось условие задачи (тем самым, такая раскраска существует):
Ответ: 8 квадратов.
Второй день
9.5. На главной диагонали шашечной доски 
стоит десять шашек (все в разных клетках). За один ход разрешается выбрать любую пару шашек и передвинуть каждую из них на одну клетку вниз. Можно ли за несколько таких ходов поставить все шашки на нижнюю горизонталь?
Решение:
Найдем число ходов, которые должны сделать все шашки вместе:
Таким образом, в общей сложности шашки нужно сдвинуть на 45 клеток. За каждый ход мы слвигаем две шашки, каждую на одну клетку. Тем самым, за любое число ходов мы можем сдвинуть шашки только на четное число клеток. Поэтому сдвинуть все шашки на нинюю горизонталь невозможно.
Ответ: нельзя.
9.6. Найдите все целые 
, при которых уравнение 
имеет целый корень.
Решение:
Обозначим корни данного уравнения через 
и 
. Тогда по теореме Виета имеем
Сложим эти два уравнения:
Сгруппируем слагаемые, выненсем общие множители:
Снова вынесем общий множитель:
откуда
или 
Следовательно, либо 
, либо 
.
Ответ: 
или 
.
9.7. В окружности проведены две пересекающиеся хорды 
и 
. На отрезке взяли точку так, что 
, а на отрезке – точку так, что 
(см. рисунок). Докажите, что если точки и не совпадают, то прямая 
параллельна прямой 
.
Решение:
Углы 
и 
равны как вписанные, опирающиеся на одну дугу 
. Так как треугольники 
и равнобедеренные (равные углы 
), то 
, а значит, вокруг четырехугольника 
можно описать окружность 
. Углы 
как вписанные в окружность и опирающиеся на одну дугу. А 
как вписанные в исходную окружность и опирающиеся на одну дугу 
. Поскольку 
, то прямые и параллельны.
9.8. На полке в произвольном порядке стоит десятитомное собрание сочинений Ильфа и Петрова. Библиотекарь может взять любой том с полки и поставить его на пятое место (считая слева). Докажите, что с помощью нескольких таких операций библиотекарь сможет расставить тома в порядке возрастания номеров.
Решение:
Если первый том занимает какое-либо место, начиная с шестого до десятого, то сначала ставим его на пятое место. Если же он стоит на каком-либо месте с первого по пятое, то поочередно переставляем на пятое место тома, стоящие до него, до тех пор, пока первый том не будет стоять на первом месте.
Далее смотрим, где стоит десятый том. Если он занимает места со второго по четвертое, то сначала ставим его на пятое место. Далее поочередно ставим на пятое место все тома, которые стоят правее десятого, до тех пор, пока он не окажется на десятом месте.
Теперь уже трогать первый и десятый тома не будем. Аналогично тому, как это делали с первым томом, ставим на место второй, затем, как ставили десятый, поставим на свое место девятый том. Далее поставим на их места третий и восьмой тома, четвертый и седьмой, пятый (тогда шестой окажется на своем месте.
). На меньшей дуге 
описанной около него окружности взята точка 
. На продолжении отрезка 
так, что точки 
и 
пересекает сторону 
. Докажите, что прямые 
и 
проведена замкнутая несамопересекающаяся ломаная. Каждое звено ломаной соединяет центры соседних по горизонтальи, вертикали или диагонали клеток. Докажите, что в ограниченном ею многоугольнике общая площадь черных частей равна общей площади белых частей.
. Докажите неравенство
будет целым.
и 
, после чего на плоскости отмечалась точка 
такие, что четвертая степень любого из них, уменьшенная на 1, делится на произведение двух остальных.
