Home

Домашка

  • Домашнее задание для начинающей лиги 1-2

    Про решать до следующего урока все эти задачи и подготовится для сдачи теории по геометрий по пройденным материалам!

    ЗАДАЧИ ДЛЯ 5-8 КЛАССОВ 

    Задача 1

    В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC, равным 37, внешний угол при вершине B равен 60o. Найдите расстояние от вершины C до прямой AB.

    Задача 2

    ABC — равнобедренный треугольник с основанием AC; CD — биссектриса угла C; $\angle ADC$ = 150o. Найдите $\angle B$.

    Задача 3

    Прямая, проходящая через вершину A треугольника ABC, пересекает сторону BC в точке M. При этом BM = AB, $\angle BAM$ = 35o, $\angle CAM$ = 15o. Найдите углы треугольника ABC.

    Задача 4

    Дан квадрат ABCD. На стороне AD внутрь квадрата построен равносторонний треугольник ADE. Диагональ AC пересекает сторону ED этого треугольника в точке F. Докажите, что CE = CF.

    Задача 5

    Дан треугольник ABC. На продолжении стороны AC за точку A отложен отрезок AD = AB, а за точку C — отрезок CE = CB. Найдите углы треугольника DBE, зная углы треугольника ABC.

    Задача 6

    Высоты треугольника ABC, проведённые из вершин A и C, пересекаются в точке M. Найдите $\angle AMC$, если $\angle A$ = 70o, $\angle C$ = 80o.

    Задача 7

    Если на гипотенузе BC равнобедренного прямоугольного треугольника ABC отметить две точки E и D так, что BE = BA и CD = CA, то $\angle DAE$ = 45o. Докажите.

    Задача 8

    В равнобедренном треугольнике ABC высоты AD и CE, опущенные на боковые стороны, образуют угол AMC, равный 48o. Найдите углы треугольника ABC.

    Задача 9

    Два угла треугольника равны 10o и 70o. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины третьего угла треугольника.

    Задача 10

    В прямоугольном треугольнике ABC на гипотенузе AB взяты точки K и M, причем AK = AC и BM = BC. Найдите угол MCK.

    Задача 11

    На стороне BC равнобедренного треугольника ABC ( AB=BC ) взяли точки N и M ( N ближе к B , чем M ) такие, что NM=AM и $\angle MAC = \angle BAN$. Найдите $\angle CAN$.

    Задача 12

    Дан равнобедренный треугольник ABC ( AB=AC ). На продолжении стороны AC за точку C отложен отрезок CD , равный BC . Оказалось, что BD=AB . Найдите углы треугольника ABC .

    Задача 13

    Прямая, проходящая через вершину A треугольника ABC, пересекает сторону BC в точке M, причём BM = AB. Найдите разность углов BAM и CAM, если $\angle ACB$ = 25o.

    Задача 14

    BK — биссектриса треугольника ABC. Известно, что $\angle AKB : \angle CKB$ = 4 : 5. Найдите разность углов A и C треугольника ABC.

    Задача 15

    Через вершину B треугольника ABC проведена прямая, параллельная прямой AC. Образовавшиеся при этом три угла с вершиной B относятся как 3 : 10 : 5. Найдите углы треугольника ABC.

    Задача 16

    В треугольнике ABC угол A равен 40o, угол B равен 20o, а AB - BC = 4. Найдите длину биссектрисы угла C.

    Задача 17

    Отрезки АС и BD пересекаются в точке О. Периметр треугольника АВС равен периметру треугольника АВD, а периметр треугольника ACD равен периметру треугольника BCD. Найдите длину АО, если ВО = 10 см.

    Задача 18

    Медиана треугольника делит пополам его периметр. Докажите, что треугольник равнобедренный.

    Задача 19

    Периметр треугольника равен 28, середины сторон соединены отрезками. Найдите периметр полученного треугольника.

    Задача 20

    Дан треугольник с периметром, равным 24. Найдите периметр треугольника с вершинами в серединах сторон данного.

    Задача 21

    Биссектриса треугольника делит одну из его сторон на отрезки 3 см и 5 см. В каких границах изменяется периметр треугольника?

    Задача 22

    Треугольники ABC и ABC1 — равнобедренные с общим основанием AB. Докажите равенство треугольников ACC1 и BCC1.

    Задача 23

    Через вершины А и С треугольника АВС проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла АВС. Они пересекают прямые СВ и ВА в точках К и М соответственно. Найдите длину АВ, если ВМ = 8 см, KC = 1 см и АВ > ВС.

    Задача 24

    B равнобедренном треугольнике ABС на боковой стороне BС отмечена точка M так, что отрезок MС равен высоте треугольника, проведенной к этой стороне, а на боковой стороне AB отмечена точка K так, что угол KMС — прямой. Найдите угол ACK.

  • Индукция часть 4

    Каждая задача по 7 баллов!

     

    Задача 1

    Докажите неравенство для натуральных n: $ {\dfrac{(2n)!}{(n!)^2}}$ > $ {\dfrac{4^n}{n+1}}$. 

     Задача 2

    Числовая последовательность A1, A2,..., An,... определена равенствами 

    A1 = 1,    A2 = - 1,    An = - An - 1 - 2An - 2        (n  3).

    Докажите, что при n  2 число 2n + 2 - 7An2 является полным квадратом. 

    Задача 3

    Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде суммы нескольких различных членов последовательности Фибоначчи. (Последовательность Фибоначчи {an} определяется условиями a1=1, a2=2, an+2=an+1+an.)

    Задача 4

    Из чисел от 1 до 2n выбрано n + 1 число. Докажите, что среди выбранных чисел найдутся два, одно из которых делится на другое. 

    Задача 5

    В классе каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном. При этом болтун молчит, если в кабинете находится нечетное число его друзей - молчунов. Докажите, что учитель может пригласить на факультатив не менее половины класса так, чтобы все болтуны молчали.

    Задача 6

    Натуральные числа a1, a2, ..., an таковы, что каждое не превышает своего номера (ak ≤ k) и сумма всех чисел — чётное число. Доказать, что одна из сумм a1 ± a2 ± a3 ± ... ±an равна нулю.

    Задача 7

    Для любого натурального числа n существует составленное из цифр 1 и 2 число, делящееся на 2n. Докажите это.
    (Например, на 2 делится 2, на 4 делится 12, на 8 делится 112, на 16 делится 2112...)

    Задача 8 Куб с ребром  2n+1 разрезают на кубики с ребром 1 и бруски размера  2x 2x 1 . Какое наименьшее количество единичных кубиков может при этом получиться?

    Задача 9 Докажите, что для любого натурального n 10n + 18n – 1 делится на 27.

    Задача 10   - натуральное число, . Докажите, что .

    Задача 11

    Докажите, что при  выполняется неравенство

    Задача 12

     

     - натуральное число. Докажите, что

     

     

    Задача 13

     - натуральное число. Докажите, что 

    Задача 14

    Тождество Кассини. Докажите равенство

    Fn + 1Fn - 1 - Fn2 = (- 1)n        (n > 0).

    Будет ли тождество Кассини справедливо для всех целых n? 

     

    Задача 15

    Докажите следующие свойства чисел Фибоначчи: 

    а) F1 + F2 +...+ Fn = Fn + 2 - 1; в) F2 + F4 +...+ F2n = F2n + 1 - 1;
    б) F1 + F3 +...+ F2n - 1 = F2n; г) F12 + F22 +...+ Fn2 = FnFn + 1. 

    Задача 16

    Дана последовательность чисел U1, U2...; U1 = U2 = 1 и Un + 2 = Un + Un + 1. Доказать, что U5k делится на 5 при k = 1, 2,....

    Задача 17

     - натуральное число. Докажите, что

     

    Задача 18

    На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 20. Разрешается стереть любые два числа a и b и заменить их суммой ab + a + b. Какое число может получиться после 19 таких операций?

    Задача 19

    В клетках таблицы размером 10×20 расставлено 200 различных чисел. В каждой строчке отмечены 2 наибольших числа красным цветом, а в каждом столбце отмечены 2 наибольших числа синим цветом. Доказать, что не менее трёх чисел отмечены в таблице как красным, так и синим цветом.

          Решений: 2

  • Задачи на неравенство (для старшей группы часть 1)

    Задачи прорешать!

    для старшей группы:

    1. (3 point) Даны $a, b, c > 0 $ такие что $ a+b+c = 3 $ Доказать   $ \frac{a}{3a+b^{2}}+\frac{b}{3b+c^{2}}+\frac{c}{3c+a^{2}} \le \frac{3}{4} $
    2. (5 point) Пусть $ a, b, c>0, ab+bc+ca=1 $ тогда $(\frac{a}{1+a^{2}})^{2}+(\frac{b}{1+b^{2}})^{2}+(\frac{c}{1+c^{2}})^{2}\leq\frac{9}{16} $
    3. (7 point) Пусть $ a, b, c, d>0$ и  $ a^{3}+b^{3}+3ab = c+d = 1,$  тогда  $\left(a+\frac{1}{a}\right)^{3}+\left(b+\frac{1}{b}\right)^{3}+\left(c+\frac{1}{c}\right)^{3}+\left(d+\frac{1}{d}\right)^{3} \geq 40. $
    4. (7 point) Доказать для $ x,y,z>0 $ $ \frac{x^{3}}{(y+1)(z+1)}+\frac{y^{3}}{(x+1)(z+1)}+\frac{z^{3}}{(y+1)(x+1)}\ge\frac{3}{4} $
    5. (7 point) $a,b,c > 0,   a+b+c=1 $ $ \sum_{cyc} {  \sqrt{ \frac{ab}{ab+c} }  } \leq \frac{3}{2} $
    6. (5 point) $a,b,c > 0 \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{ 1}{c}< 1. $  и они целые числа тогда $ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{ 1}{c}\leq\frac{41}{42}. $
    7. (10 point) $a,b,c > 0 a+b+c=1 $ $a^{3}b^{2}+b^{3}c^{2}+c^{3}a^{2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\ge 2ab(ab+2c^{2})$
    8. (3 point) $a,b,c > 0 a+b+c=1 $   тогда $ \frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{a+c}\geq\frac{1}{2}$
    9. (3 point) $1 \geq a,b,c \geq 0 $ $ \frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab}\leq 2 $
    10. (3 point) $a,b,c > 0 a+b+c=1 $ $ \frac{ab}{1+c}+\frac{ac}{1+b}+\frac{bc}{1+a}\leq\frac{1}{4} $
    11. (3 point) Prove that for all a,b,c \ge 0 :
      a^3+b^3+c^3 \ge a^2b+b^2c+c^2a \ge 3abc
    12. (7 point) $x$ and $y$ are positive real numbers such that

      $x^2 + y^3 \leq x^3 +y^4$

      Prove  $x^3 + y^3 \leq 2$
    13. (3 point) Prove that : \frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} \geq \frac{1}{1+xy}
    14. (7 point) Prove that for all positive real numbers a,b,c the following inequality takes place
      \frac{1}{b(a+b)}+ \frac{1}{c(b+c)}+ \frac{1}{a(c+a)} \geq \frac{27}{2(a+b+c)^2} .
      Laurentiu Panaitopol, Romania
    15. (7 point) Let a,b,c be positive real numbers. Prove that :
      \frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geq\sqrt{\frac{3}{2}(a+b+c)}
    16. (10 point) Let a,b,c \geq 0. Prove that inequality
    17. \frac{a^2}{2.a^2+(b+c-a)^2} + \frac{b^2}{2.b^2+(a+c-b)^2} + \frac{c^2}{2.c^2+(a+b-c)^2} \leq 1
    18. (10 point) Three nonnegative real numbers satisfy a,b,c satisfy a^2\le b^2+c^2, b^2\le c^2+a^2 and c^2\le a^2+b^2. Prove the inequality
    19. (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3)\ge 4(a^6+b^6+c^6).
    20. (5 point) (Iran 1996... famous ineq)  For x,y,z positive real numbers prove that

      (xy+yz+zx)(\frac{1}{(x+y)^2} + \frac{1}{(y+z)^2} + \frac{1}{(z+x)^2}) \geq \frac{9}{4}
    21. (10 point) Let a, b, c>0 such that abc=8. Prove that:
    22. \sum \frac{a^2}{\sqrt{(a^3+1)(b^3+1)}}\ge \frac{4}{3}
    23. (7 point) Prove that for all positive reals x, y, z, we have:

      a) \sum\frac{x}{y+z}\leq\frac32\cdot\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx};
      b) \sum\left(\frac{x}{y+z}\right)^2\geq\frac34\cdot\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}.
    24. (7 points) Let a, b, c be positive real numbers with abc \leq a+b+c. Show that a^2 + b^2 + c^2 \geq \sqrt 3 abc.
      Cristinel Mortici, Romania
    25. (5 points) Let x,y,z>0 such that: xyz \ge xy+zy+zx
      Prove that: xyz \ge 3(x+y+z)
    26. (7 points) For x,y,z \ge 0 and xy+yz+zx=3 Prove that :
      \sqrt{\frac{1+2x}{3}}+\sqrt{\frac{1+2y}{3}}+\sqrt{\frac{1+2z}{3}} \geq 3 
          Решений: 9

  • Домашка для средней группы (индукция часть 1)

    Каждая задача оценивается в 7 баллов!

    При условий что все оформлено хорошо!

    Задача 1 Докажите тождество: $1*1!+2*2!+...+n*n!=(n+1)!–1$.

    Задача 2 Известно, что $x+\frac{1}{x}$ целое число. Докажите, что $x^n+\frac{1}{x^n}$  - также целое при любом целом n.

    Задача 3 Докажите тождество: $\frac{1^2}{1*3}+\frac{2^2}{3*5}+...+\frac{n^2}{(2n-1)*(2n+1)} = \frac{n(n+1)}{2(2n+1)}$. 

    Задача 4 Докажите неравенство для натуральных $n$:  $\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + ... + \frac{1}{\sqrt{n}} \geq \sqrt{n}$. 

    Задача 5 Найдите все натуральные $n$, для которых $2^n$ не больше, чем $n^2$.

    Задача 6 В прямоугольнике $3 * n$ стоят фишки трех цветов, по $n$ штук каждого цвета. Доказать, что можно переставить фишки в каждой строке так, чтобы в любом столбце были фишки всех цветов.

    Задача 7 Докажите, что число, составленное из $3^n$ одинаковых цифр, делится на $3^n$.

    Задача 8 Докажите тождество: $1*2*3+2*3*4+...+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)$. 

    Задача 9  Докажите неравенство для натуральных $n$: $\frac{1*3*5*...*(2n-1)}{2*4*6*...*2n} \geq \frac{1}{\sqrt{2n+1}}$. 

    Задача 10  Вычислите произведение: $\frac{2^3-1}{2^3+1} \frac{3^3-1}{3^3+1} ... \frac{n^3-1}{n^3+1}$

    Задача 11 a1,a2,...,ak – натуральные числа. Доказать, что (a21+1)(a22+1)...(ak2+1) может быть представлено в виде суммы двух квадратов. 

    Задача 12 $n$- натуральное число. Докажите, что $n^n > (n+1)^{n-1}$.

    Задача 13 Докажите тождество: $1^2 + 3^2 +...+ (2n - 1)^2 = \frac{n(2n - 1)(2n + 1)}{3}$. 

    Задача 14 Докажите тождество: 13 + 23 +...+ n3 = (1 + 2 +...+ n)2. 

    Задача 15 Докажите, что для любого натурального n 10n + 18n – 1 делится на 27.

    Задача 16 Докажите, что для любого натурального n 25n + 3 + 5n . 3n + 2 делится на 17. 

    Задача 17 Докажите, что для любого натурального n n3 + 5n делится на 6. 

    Задача 18 Докажите неравенство для натуральных n:  $\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{n^2} < 2$. 

    Задача 19 Докажите неравенство $2 ^{m+n-2} \geq mn$ где m и n — натуральные числа. 

     

    Решение некоторых задач можно посмотреть здесь

          Решений: 2

  • Домашка для начинающей 3,4,5 лиги (часть 1)

    Задачи по 5 баллов!

    Если оформлено хорошо... подробно.. если же нет то будут сниматься баллы!!!

    Задача 1

    Первый вторник месяца Митя провёл в Смоленске, а первый вторник после первого понедельника  — в Вологде. В следующем месяце Митя первый вторник провёл во Пскове, а первый вторник после первого понедельника  — во Владимире. Сможете ли вы определить, какого числа и какого месяца Митя был в каждом из городов?

    Задача 2

    В равенстве 101 – 102 = 1 передвиньте одну цифру так, чтобы оно стало верным.

    Задача 3

    Расшифруйте ребус, изображённый на рисунке. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным  — разные.

    Задача 4

    На острове живут два племени  — аборигены и пришельцы. Известно, что аборигены всегда говорят правду, пришельцы  — всегда лгут. Путешественник нанял туземца-островитянина в проводники. По дороге они встретили какого-то человека. Путешественник попросил проводника узнать, к какому племени принадлежит этот человек. Проводник вернулся и сообщил, что человек назвался аборигеном. Кем был проводник  — аборигеном или пришельцем?

    Задача 5

    Среди 40 кувшинов, с которыми атаман разбойников приехал в гости к Али-Бабе, нашлись два кувшина разной формы и два кувшина разного цвета. Докажите, что среди них найдутся два кувшина одновременно и разной формы и разного цвета.

    Задача 6

    В день рождения дяди Федора почтальон Печкин хочет выяснить, сколько тому лет. Шарик говорит, что дяде Федору больше 11 лет, а кот Матроскин утверждает, что больше 10 лет. Сколько лет дяде Федору, если известно, что ровно один из них ошибся? Ответ обоснуйте.

    Задача 7

    Расшифруйте ребус, изображённый на схеме.

    Задача 8

    В Стране Чудес проводилось следствие по делу об украденном бульоне. На суде Мартовский Заяц заявил, что бульон украл Болванщик. Соня и Болванщик тоже дали показания, но что они сказали, никто не запомнил, а запись смыло алисиными слезами. В ходе судебного заседания выяснилось, что бульон украл лишь один из подсудимых и что только он дал правдивые показания. Так кто украл бульон?

    Задача 9

    Однажды на лестнице была найдена странная тетрадь. В ней было записано сто утверждений:

            "В этой тетради ровно одно неверное утверждение";

            "В этой тетради ровно два неверных утверждения";

            "В этой тетради ровно три неверных утверждения";

    ...

            "В этой тетради ровно сто неверных утверждений".

     

    Есть ли среди этих утверждений верные, и если да, то какие?

    Задача 10

    Как-то раз Таня ехала в поезде. Чтобы не скучать, она стала зашифровывать названия разных городов, заменяя буквы их порядковыми номерами в алфавите. Когда Таня зашифровала пункты прибытия и отправления поезда, то с удивлением обнаружила, что они записываются с помощью всего лишь двух цифр: 21221-211221. Откуда и куда шёл поезд?

    Задача 11

    Учитель рисует на листке бумаги несколько кружков и спрашивает одного ученика: ``Сколько здесь кружков?''. ``Семь''- отвечает ученик. ``Правильно. Так сколько здесь кружков?'' - опять спрашивает учитель другого ученика. ``Пять'' - отвечает тот. ``Правильно'' - снова говорит учитель. Так сколько же кружков он нарисовал на листке?

     

    Задача 12

    Петя написал на доске верное равенство: 35+10-41=42+12-50, а   затем вычел из обеих частей по 4:  35+10-45=42+12-54. Он заметил, что в левой части равенства все числа делятся на 5, а в правой - на 6.  Тогда он вынес в левой части 5 за скобки, а в правой - 6 и получил 5(7+2-9)=6(7+2-9). Сократив обе части на общий множитель, Петя получил, что 5=6. Где он ошибся?

    Задача 13

    Найдите значение дроби В*А*Р*Е*Н*Ь*Е / К*А*Р*Л*С*О*Н, где разные буквы – это разные цифры, а между буквами стоит знак умножения.

    Задача 14

    Замените каждую букву на схеме цифрой от 1 до 9 так, чтобы выполнялись все неравенства, а затем расставьте буквы в порядке возрастания их числовых значений. Какое слово у вас получилось?

    Задача 15

    Дано трехзначное число ABB, произведение цифр которого  — двузначное число AC, произведение цифр этого числа равно C (здесь, как в математических ребусах, цифры в записи числа заменены буквами; одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным  — разные). Определите исходное число.

    Задача 16

    Девочка заменила каждую букву в своём имени её номером в русском алфавите. Получилось число 2011533. Как её зовут?

  • Задание для начинающих на составление уравнения

    Задачи для начинающих 3, 4, 5 по 3 балла

     

    1. Из двух пунктов А и В, расстояние между которыми 50км, одновременно выехали два мотоциклиста и через 30мин они встретились. Первый прибыл в А на 25мин раньше, чем второй прибыл в В. Определить скорость каждого мотоциклиста.
    2. Из двух пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. После встречи один из них прибыл в пункт В через 1ч 15мин, а другой прибыл в пункт А через 48мин. Расстояние от А до В 90км. Определить скорость каждого автомобиля.
    3. Из двух городов, расстояние между которыми 900км отправляются навстречу друг другу два поезда и встречаются на середине пути. Определить скорость каждого поезда, если первый вышел на 1ч позднее второго, и со скоростью на 5км/ч большей, чем скорость второго поезда.
    4. Легковая машина за 2часа проходит столько же километров, сколько грузовик за 3часа. Но если скорость легковой машины уменьшить на 30км/ч, то она за час пройдёт на 10км меньше, чем грузовик за это же время. Определить их скорости.
    5. Канат доехал на велосипеде от деревни до озера и вернулся обратно, затратив на весь путь 1час. От деревни до озера он ехал со скоростью 15км/ч, а на обратном пути его скорость была 10км/ч. Чему равно расстояние от деревни до озера?
    6. Моторная лодка шла 40мин по течению реки и 1час против течения и за это время прошла 37км. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 1,5км/ч.
    7. Расстояние между двумя станциями железной дороги 120км. Первый поезд проходит это расстояние на 50мин скорее, чем второй, скорость первого поезда больше скорости второго на 12км/ч. Определите скорости обоих поездов.
    8. Велосипедисту надо было проехать расстояние в 30км. Выехав на 3мин позже назначенного срока, велосипедист ехал со скоростью больше на 1км/ч, чем планировал и прибыл вовремя на место. Определить скорость, с которой ехал велосипедист.
    9. Пешеход должен был пройти 10км с некоторой скоростью, но увеличив эту скорость на 1км/ч, он прошёл 10км на 20мин быстрее. Найдите истинную скорость пешехода.
    10. На путь по течению реки пароход затратил 3часа, а на обратный путь 5часов. Скорость течения 5км/ч. Какова скорость парохода в стоячей воде?
    11. Расстояние между станциями А и В пассажирский поезд проходит на 36мин быстрее, чем товарный. Определите это расстояние, если средняя скорость пассажирского поезда 60км/ч, а средняя скорость товарного поезда 48км/ч.
    12. Турист прошёл 105км за несколько дней, преодолевая ежедневно одинаковое расстояние. Если бы на это путешествие он употребил бы на два дня больше, то мог бы в день проходить на 6км меньше. Сколько дней продолжалось путешествие?

  • Задачи для Начинающих геометров (начинающая 1)

    Начинающая 1 по 5 баллов

    Задача 1

    Угловая величина дуги равна 110o. Найдите угол между хордой и продолжением радиуса, проведённого в конец дуги.

    Задача 2

    C — точка на продолжении диаметра AB, CD — касательная, угол ADC равен 110o. Найдите угловую величину дуги BD.

    Задача 3

    M — середина высоты BD в равнобедренном треугольнике ABC. Точка M служит центром окружности радиуса MD. Найдите угловую величину дуги окружности, заключённой между сторонами BA и BC, если BAC = 65o.

    Задача 4

    ABC — секущая, A — внешняя точка окружности, угловая величина дуги BD равна 42o, а угловая величина дуги BDC равна 220o. Найдите угол ABD.

    Задача 5

    AB и AC — равные хорды, MAN — касательная, угловая величина дуги BC, не содержащей точки A, равна 200o. Найдите углы MAB и NAC.

    Задача 6

    AB и AC — хорды окружности;  AB = 110o,  AC = 40o. Найдите угол BAC.

    Задача 7

    Пусть O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Найдите угол OAC, если: а) B = 50o; б) B = 126o.

    Задача 8

    Биссектриса внешнего угла при вершине C треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке D. Докажите, что AD = BD. 

    Задача 9

    Вершина A остроугольного треугольника ABC соединена отрезком с центром O описанной окружности. Из вершины A проведена высота AH. Докажите, что  BAH = OAC. 

    Задача 10

    Две окружности пересекаются в точках M и K. Через M и K проведены прямые AB и CD соответственно, пересекающие первую окружность в точках A и C, вторую в точках B и D. Докажите, что  AC || BD. 

    Задача 11

    Из произвольной точки M, лежащей внутри данного угла с вершиной A, опущены перпендикуляры MP и MQ на стороны угла. Из точки A опущен перпендикуляр AK на отрезок PQ. Докажите, что  PAK = MAQ. 

    Задача 12

    Две окружности пересекаются в точках P и Q. Через точку A первой окружности проведены прямые AP и AQ, пересекающие вторую окружность в точках B и C. Докажите, что касательная в точке A к первой окружности параллельна прямой BC. 

    Задача 13

    Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O . Описанные окружности треугольников AOB и COD пересекаются в точке М на основании AD . Докажите, что треугольник BMCравнобедренный.

    Задача 14

    AB и AC — две хорды, образующие угол BAC, равный 70o. Через точки B и C проведены касательные до пересечения в точке M. Найдите BMC.

    Задача 15

    Прямая касается окружности с центром O в точке A. Точка C на этой прямой и точка D на окружности расположены по разные стороны от прямой OA. Найдите угол CAD, если уголAOD равен 110o.

    Задача 16

    Касательная в точке A к описанной окружности треугольника ABC пересекает прямую BC в точке E; AD — биссектриса треугольника ABC. Докажите, что AE = ED. 

    Задача 17

    Через вершину A остроугольного треугольника ABC проведены биссектрисы AM и AN внутреннего и внешнего углов и касательная AK к описанной окружности треугольника ABC (точкиM , K , N лежат на прямой BC ). Докажите, что MK=KN .

    Задача 18

    Треугольники ABC и ADC имеют общую сторону AC ; стороны AD и BC пересекаются в точке M . Углы B и D равны по  40o . Расстояние между вершинами D и B равно стороне AB , AMC = 70o . Найдите углы треугольников ABC и ADC .

    Задача 19

    Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC , пересекая сторону AB в точке E и сторону BC в точке F . Угол AEC в 5 раз больше угла BAF , а угол ABC равен  72o . Найдите радиус окружности, если AC = 6 .

    Задача 20

    В треугольнике ABC проведены медианы AA1 и BB1. Докажите, что если  CAA1 = CBB1, то AC = BC. 

    Задача 21

    В треугольнике ABC проведена высота AH, а из вершин B и C опущены перпендикуляры BB1 и CC1 на прямую, проходящую через точку A. Докажите, что  ABC  HB1C1. 

    Задача 22

    Биссектрисы углов A и B треугольника ABC пересекают описанную окружность треугольника в точках $A_1$ и $B_1$. Вписанная окружность касается сторон AC и BC в точках $A_2$ и $B_2$ . Докажите, что $A_1B_1$ || $A_2B_2$ .

    Задача 23

    ABCD — выпуклый четырёхугольник, AB=BC и AD=DC . На диагонали AC нашлась такая точка K , что AK=BK и четырёхугольник KBCD — вписанный. Докажите, что BD=CD .

    Задача 24

    В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что  ACB = 25o ,  ACD = 40o и  BAD = 115o . Найдите угол ADB .

    Задача 25

    На хорде AB окружности S с центром O взята точка C. Описанная окружность треугольника AOC пересекает окружность S в точке D. Докажите, что BC = CD. 

  • Домашка - Республика 2009 года, разбор

    Всем всем пифагоровцам младшей средней и старшей лиги!

    На нашем сайте весят задачи республиканской олимпиады 2009 года!

    До следующего урока разобрать их решения за 9, 10, 11 классы!

    Каждый разберет свой уровень!

    Решение в прикрипленных файлах:

          Решений: 3

  • Делимость. Домашка Средняя начинающая

    Каждая задача по 5 баллов!

     

    Задача 1

    Найдите все числа, при делении которых на 7 в частном получится то же число, что и в остатке.

    Задача 2

    При делении некоторого числа m на 13 и 15 получили одинаковые частные, но первое деление было с остатком 8, а второе без остатка. Найдите число m.

    Задача 3

    Изменятся ли частное и остаток, если делимое и делитель увеличить в три раза?

    Задача 4

    Может ли сумма трех последовательных натуральных чисел быть простым числом?

    Задача 5

    Докажите, что n3 + 2n делится на 3 для любого натурального n.

    Задача 6

    Найдите остатки от деления 
    а) 1989 × 1990 × 1991 + 19922 на 7; 
    б) 9100на 8.

    Задача 7

    Натуральные числа x, y, z таковы, что x2 + y2 = z2. Докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3.

    Задача 8

    Найдите наименьшее натуральное число, дающее следующие остатки: 1 - при делении на 2, 2 - при делении на 3, 3 - при делении на 4, 4 - при делении на 5, 5 - при делении на 6.

    Задача 9

    Найдите наименьшее число, дающее следующие остатки: 1 - при делении на 2, 2 - при делении на 3, 3 - при делении на 4, 4 - при делении на 5, 5 - при делении на 6.

    Задача 10

    Сколько существует натуральных чисел n, меньших 10000, для которых  2n – n2  делится на 7?

    Задача 11

    Маша задумала натуральное число и нашла его остатки при делении на 3, 6 и 9. Сумма этих остатков оказалась равна 15. Найдите остаток от деления задуманного числа на 18.

    Задача 12

    Целые числа x , y и z таковы, что 

     (x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z.

    Докажите, что число x+y+z делится на 27.

    Задача 13

    Найдите наименьшее натуральное число, дающее при делении на 2, 3, 5, 7 остатки 1, 2, 4, 6 соответственно. 

    Задача 14

    Докажите, что 22225555 + 55552222 делится на 7.

    Задача 15

    Докажите, что среди 51 целого числа найдутся два, квадраты которых дают одинаковые остатки при делении на 100.

    Задача 16

    Докажите следующие соотношения: 
    а) 241 - 1 делится на 83; б) 270 + 370 делится на 13; в) 215 - 1 делится на 20801. 

    Задача 17

    При каких целых n выражение n2 - 6n - 2 делится на 
    а) 8; б) 9; в) 11; г) 121? 

    Задача 18

    Найдите все такие пары простых чисел p и q , что p3-q5=(p+q)2 .

          Решений: 4

  • Площадь и отношение(младшая домашка средняя тоже можно по решать)

    Каждая задача по 7 баллов!

    для средней группы 6-7 классов будет по 5... для 8-9 класников будет по 2 балла

    Задача 1

    На сторонах AB и AC треугольника ABC, площадь которого равна 36 см2, взяты соответственно точки M и K так, что AM/MB = 1/3, а AK/KC = 2/1. Найдите площадь треугольника AMK.

    Задача 2

    Точки M и N расположены на стороне BC треугольника ABC, а точка K – на стороне AC, причём BM : MN : NC = 1 : 1 : 2 и CK : AK = 1 : 4. Известно, что площадь треугольника ABC равна 1. Найдите площадь четырёхугольника AMNK.

    Задача 3 

    Точка M делит сторону AB треугольника ABC в отношении 2 : 5. В каком отношении отрезок CM делит площадь треугольника ABC? 

    Задача 4

    На стороне AB треугольника ABC взяты точки M и N, причём AM : MN : NB = 2 : 2 : 1, а на стороне AC — точка K, причём AK : KC = 1 : 2. Найдите площадь треугольника MNK, если площадь треугольника ABC равна 1.

    Задача 5

    Через точки M и N, делящие сторону AB треугольника ABC на три равные части, проведены прямые, параллельные стороне BC. Найдите площадь части треугольника, заключённой между этими прямыми, если площадь треугольника ABC равна 1. 

    Задача 6

    В треугольнике ABC известны стороны BC = a, AC = b, AB = c и площадь S. Биссектрисы BM и CN пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника BOC.

    Задача 7 

    На сторонах AB, BC, CD и AD выпуклого четырёхугольника ABCD расположены точки M, N, K и L соответственно, причём AM : MB = 3 : 2, CN : NB = 2 : 3, CK = KD и AL : LD = 1 : 2. Найдите отношение площади шестиугольника MBNKDL к площади четырёхугольника ABCD.

    Задача 8

    Площадь трапеции равна 84, а основания относятся как 3:4. Найдите площади треугольников, на которые разбивает трапецию её диагональ.

    Задача 9

    В треугольнике ABC угол A равен 60o ; AB:AC=3:2 . На сторонах AB и AC расположены соответственно точки M и N так, что BM=MN=NC . Найдите отношение площади треугольникаAMN к площади треугольника ABC .

    Задача 10

    Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основанием AD и BC пресекаются в точке O . Известно, что AD=2BC и площадь треугольника AOB равна 4. Найдите площадь трапеции.

    Задача 11

    Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найдите площадь треугольника с вершинами в точках касания вписанной окружности со сторонами треугольника.

    Задача 12

    Точки D и E расположены на стороне AC треугольника ABC . Прямые BD и BE разбивают медиану AM треугольника ABC на три равных отрезка. Найдите площадь треугольника BDE , если площадь треугольника ABC равна 1.

          Решений: 2

Архив данных

New forum topics

more

Who's new

Кім онлайн?

There are currently 3 users and 5 guests online.

Сайтағы оқущылар

Syndicate

Syndicate content

Theme by Danetsoft and Danang Probo Sayekti inspired by Maksimer