Геометрия

Всем пифагоровцам младшей лиги до следующего урока дополнительно прорешать все эти задачи:

1. Вершина A остроугольного треугольника ABC соединена отрезком с центром O описанной окружности. Из вершины A проведена высота AH. Докажите, что $\angle BAH = \angle OAC$.
2. Две окружности пересекаются в точках M и K. Через M и K проведены прямые AB и CD соответственно, пересекающие первую окружность в точках A и C, вторую в точках B и D. Докажите, что AC||BD.
3. Из произвольной точки M, лежащей внутри данного угла с вершиной A, опущены перпендикуляры MP и MQ на стороны угла. Из точки Aопущен перпендикуляр AK на отрезок PQ. Докажите, что $\angle PAK = \angle MAQ$.
4. а) Продолжение биссектрисы угла B треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке M; O- центр вписанной окружности,  O_b- центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC. Докажите, что точки A,C,O и O_b лежат на окружности с центром M. б) Точка O, лежащая внутри треугольника ABC, обладает тем свойством, что прямые AO,BO и CO проходят через центры описанных окружностей треугольников BCO,ACO и ABO. Докажите, что O- центр вписанной окружности треугольника ABC.
5. Вершины A и B треугольника ABC с прямым углом C скользят по сторонам прямого угла с вершиной P. Докажите, что точка C перемещается при этом по отрезку.
6. Диагональ AC квадрата ABCD совпадает с гипотенузой прямоугольного треугольника ACK, причем точки B и K лежат по одну сторону от прямой AC. Докажите, что $BK = \frac{|AK – CK|}{\sqrt{2}}$ и $DK = \frac{AK + CK}{\sqrt{2}}$  
7. В треугольнике ABC проведены медианы AA₁ и BB₁. Докажите, что если $\angle CAA_1 = \angle CBB_1$, то AC = BC.
8. Все углы треугольника ABC меньше 120°. Докажите, что внутри его существует точка, из которой все стороны треугольника видны под углом 120°.
9. На окружности даны точки A,B,M и N. Из точки M проведены хорды MA₁ и MB₁, перпендикулярные прямым NB и NA соответственно. Докажите, что AA₁||BB₁.
10. Шестиугольник ABCDEF вписанный, причем AB||DE и BC||EF. Докажите, что CD||AF.
11. Дан треугольник ABC. Докажите, что существует два семейства правильных треугольников, стороны которых (или их продолжения) проходят через точки A,B и C. Докажите также, что центры треугольников этих семейств лежат на двух концентрических окружностях.

Решая одну задачу, у меня в голове появилась другая задачка. Наверное, кому-то она покажется легкой, а кому-то достаточно сложной. Короче, вот она:

 1.      АВСD вписан в окружность. О – точка пересечений диагоналей АВСD. Оказалось, что перпендикуляр опущенный из точки А на ВD, и перпендикуляр опущенный из точки В на СА пересеклись на стороне СD в точке Е. Пусть М – точка, симметричная точке Е относительно стороне ВА. Докажите, что О является центром вписанной окружности треугольника МСD.

Жду ваших решений! =)

 Доказательство через Дополнительное построение)))

Рис.1

1. Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке 1.
2. Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол — 180°.
3. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и площади внутреннего квадрата.

Что и требовалось доказать.

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрий, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

  Формулировки

Теорема Пифагора: Сумма площадей квадратов, опирающихся на катеты (a и b), равна площади квадрата,

построенного на гипотенузе (c).

Геометрическая формулировка:

Изначально теорема была сформулирована следующим образом:

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Алгебраическая формулировка:

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Т.е обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b: а² + b² = c²

Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.

Обратная теорема Пифагора:

Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что a² + b² = c², существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой с.

Доказательство:

Есть много видов доказательство:

Через подобные треугольники))

Следующее доказательство алгебраической формулировки — наиболее простое из доказательств, строящихся напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры.

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH  подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. Введя обозначения

получаем Что эквивалентноСложив, получаем или , что и требовалось доказать