Теорема

   В этой статье я расскажу вам одну интересную теорему, возможно на нее на олимпиадах встретиться не много задач, но как говориться "предупрежден, значит вооружен", поэтому прочтение этой статьи не окажется пустой тратой времени. И так начнем:

   Теорема о линолиуме гласит:

   Если площадь пола равна площади линолиума, то площадь всех непокрытых линолиумом участков пола равна площади участков пола, покрытых линолиумом дважды.(считается, что пол можно покрывать линолиумом не более чем в два слоя)  Доказательство: пусть $S_p$- площадь пола, $S_l$- площадь линолиума, $S_0$- площадь пола не покрытого линолиумом, $S_1$- площадь пола, покрытого линолиумом хотя бы один раз, $S_2$- площадь пола, покрытого линолиумом ровно два раза. Тогда запишем несколько равенств: $S_1+S_2$=$S_l$=$S_p$=$S_1+S_0$, первое из них верно т.к. сначала мы посчитали весь линолиум который покрывает пол в первый слой, а потом прибавили к нему площадь линолиума, покрывающего второй слой, тогда очевидно, что т.к. любую часть пола можно покрывать линолиумом не более чем в два слоя, то ни останется ни одного кусочка линолиума площадь которого не посчитана нами, и т.к. каждый пласт линолиума принадлежит лишь одному из двух возможных слоев, то ни одна из площадей кусочков линолиума не посчитана дважды.(Важно понимать, что линолиум-не дискретен, и его можно резать на разные кусочки например квадраты, треугольники, круги и овалы и.т.д.,так, чтобы площадь этих кусочков была в сумме равна площади линолиума.) Второе верно по условию, а третье равенство истенно т.к. площадь пола - это один слой, в котором часть площади покрыто линолиумом, а часть - нет. Поэтому сумма площадей пола не покрытых линолиумом, и покрытых им хотя бы один раз покрывает всю площадь пола, тогда из ранее перечисленных равенств следует: $S_1+S_2$=$S_1+S_0$=>$S_2$=$S_0$ ч.т.д. 

   Но теперь возникает вопрос, че за теорма? Как ее применять? Причем здесь линолеум? Так вот, сейчас я покажу задачу, которая отлично показывает практическое применение этой "странной" торемы: Дан квадрат АВСD, $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ - середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно, a точки $A_2$, $B_2$, $C_2$, $D_2$ - точки пересечения отрезков $CA_1$ и $BD_1$; $DB_1$ и $CA_1$; $AC_1$ и $DB_1$; $AC_1$ и $BD_1$, соответственно. Докажите, что площадь четырехугольника $A_2B_2C_2D_2$ равна сумме площадей треугольников $A_1A_2B$, $B_1B_2C$, $C_1C_2D$, $D_1D_2A$.Что бы лучше понять задачу советую вамначертить чертеж.  Решение: пусть треугольники -   $ABD_1$, $BCA_1$, $CDB_1$, $DAC_1$ кусочки линолиума, а данный квадрат ABCD - пол, тогда заметим, что общая площадь линолиума равна площади пола, т.к. возьмем, что сторона квадрата равна $a$, тогда площадь квадрата равна $a^2$, а площадь каждого из данных четырех прямоугольных треугольников равна $\frac{a^2}{4}$, тогда общая площадь линолиума равна площади пола, равна $a^2$, тогда заметим что треугольники $A_1A_2B$, $B_1B_2C$, $C_1C_2D$, - это участки пола, покрытые линолиумом дважды, а четырехугольник $A_2B_2C_2D_2$ - участок пола вообще не покытый линолиумом. Тогда из ранее доказанной теоремы о линолиуме следует что эти площади равны. ч.т.д.

  Ну вот и вся задачка, вам может показаться, что решение долгое, и можно было решить как то иначе, но вот что я скажу вам в защиту этого метода: Решение долгое, лишь только из-за моего достаточно четкого разъясненя, и потому что мы сделали это в письменном виде, а на словах поверте мне, что говорить и показывать будет очень легко и быстро, когда рука набита то пишется очень быстро, и если бы вы доказывали все подобия например, то другое решение было бы не короче, а так же эта задача элементарна, вскоре я вывешу задачи посложнее, где применить эту теорему было бы гораздо легче, чем решать задачу любым другим методом, к тому же этот метод помогает развивать мышление и  воображение. Но сейчас я не могу более сложные задачи повесить, листочик с задачами я где то потерял, а сам листок дал мне учитель математики Жук Владимир Васильевич, он и научил меня этому методу, ну что тут скажешь, спасибо. Мне по душе такие не стандартные и интересные теоремки!

1. Дан треугольник $ABC$. На прямых $AB,BC$ и $CA$ взяты точки $C_1,A_1 и B_1$, причем $k$ из них лежат на сторонах треугольника и $3 – k$ - на продолжениях сторон. Пусть $R=\frac{ BA_1}{CA_1}\frac{  CB_1}{AB_1}\frac{  AC_1}{BC_1}$
2. Докажите, что: а) точки $A_1,B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда $R = 1$ и $k$ четно (Менелай); 
3. б) прямые $AA_1,BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда $R = 1$ и $k$ нечетно (Чева).
4. Вписанная (или вневписанная) окружность треугольника ABC касается прямых BC,CA и AB в точках A₁,B₁ и C₁. Докажите, что прямые AA₁,BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.
5. Точку пересечения прямых, соединяющих вершины треугольника с точками касания вписанной окружности, называют точкой Жергона.
6. Докажите, что прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания вневписанных окружностей со сторонами, пересекаются в одной точке (точка Нагеля).
7. Докажите, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.
8. Прямые AP,BP и CP пересекают стороны треугольника ABC (или их продолжения) в точках A₁,B₁ и C₁. Докажите, что: 
9. а) прямые, проходящие через середины сторон $BC,CA$ и $AB$ параллельно прямым $AP,BP$ и $CP$, пересекаются в одной точке; 
10. б) прямые, соединяющие середины сторон BC,CA и AB с серединами отрезков AA₁,BB₁ и CC₁, пересекаются в одной точке.
11. На сторонах BC,CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁,B₁ и C₁ так, что отрезки AA₁,BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Прямые A₁B₁ и A₁C₁ пересекают прямую, проходящую через вершину A параллельно стороне BC, в точках C₂ и B₂ соответственно. Докажите, что AB₂ = AC₂.
12. а) Пусть $ \alpha, \beta, \gamma$ - произвольные углы, причем сумма любых двух из них меньше 180°. На сторонах треугольника ABC внешним образом построены треугольники A₁BC,AB₁C и ABC₁, имеющие при вершинах A,B и C углы $ \alpha, \beta, \gamma$. Докажите, что прямые AA₁,BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.
13. б) Докажите аналогичное утверждение для треугольников, построенных на сторонах треугольника ABC внутренним образом.
14. Стороны BC,CA и AB треугольника ABC касаются окружности с центром O в точках A₁,B₁ и C₁. На лучах OA₁,OB₁ и OC₁ отложены равные отрезки OA₂,OB₂ и OC₂. Докажите, что прямые AA₂,BB₂ и CC₂ пересекаются в одной точке.
15. Прямые AP,BP и CP пересекают прямые BC,CA и AB в точках A₁,B₁ и C₁ соответственно. Точки A₂,B₂ и C₂ выбраны на прямых BC,CA и AB так, что $BA_2:A_2C = A_1C: BA_1$, $CB_2:B_2A = B_1A:CB_1$ и   $AC_2:C_2B = C_1B:AC_1$. Докажите, что прямые AA₂,BB₂ и CC₂ тоже пересекаются в одной точке Q (или параллельны). Такие точки P и Q называют изотомически сопряженными относительно треугольника ABC. 
16. На сторонах BC,CA,AB треугольника ABC взяты точки A₁,B₁,C₁. Докажите, что $\frac {AC_1}{C_1B}. \frac { BA_1}{A_1C}.\frac {CB_1}{B_1A} = \frac { sin ACC_1}{sin C_1CB} \frac {sin BAA_1}{sin A_1AC} \frac { sin CBB_1}{sin B_1BA}$
17. На сторонах BC,CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁,B₁ и C₁, причем прямые AA₁,BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке P. Докажите, что прямые AA₂,BB₂ и CC₂, симметричные этим прямым относительно соответствующих биссектрис, тоже пересекаются в одной точке Q. Такие точки P и Q называют изогонально сопряженными относительно треугольника ABC.
18. Противоположные стороны выпуклого шестиугольника попарно параллельны. Докажите, что прямые, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются в одной точке.
19. Из некоторой точки P опущены перпендикуляры PA₁ и PA₂ на сторону BC треугольника ABC и на высоту AA₃. Аналогично определяются точки B₁,B₂ и C₁,C₂. Докажите, что прямые A₁A₂,B₁B₂ и C₁C₂ пересекаются в одной точке или параллельны.
20. Через точки A и D, лежащие на окружности, проведены касательные, пересекающиеся в точке S. На дуге AD взяты точки B и C. Прямые ACи BD пересекаются в точке P,  AB и CD- в точке Q. Докажите, что прямая PQ проходит через точку S.
21. Вписанная окружность треугольника ABC касается его сторон в точках A₁, B₁ и C₁. Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямая AXпересекает дугу B₁C₁ вписанной окружности в точке A₂; точки B₂ и C₂ определяются аналогично. Докажите, что прямые A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂пересекаются в одной точке. 
22. Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямая AX пересекает описанную окружность в точке A₁. В сегмент, отсекаемый стороной BC, вписана окружность, касающаяся дуги BC в точке A₁, а стороны BC - в точке A₂. Точки B₂ и C₂ определяются аналогично. Докажите, что прямые AA₂, BB₂ и CC₂ пересекаются в одной точке.
23. а) На сторонах BC,CA и AB равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки A₁,B₁ и C₁ так, что прямые AA₁,BB₁ и CC₁пересекаются в одной точке. Докажите, что $\frac { AC_1}{C_1B} = \frac {sin ABB_1 sin CAA_1}{sin BAA_1 sin CBB_1}$
24. б) Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки M и N так, что $\angle CAM = \angle ABN$ и $\angle CBM = \angle BAN$. Докажите, что точки C,M и N лежат на одной прямой.
25. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA₁,BB₁ и CC₁. Биссектрисы AA₁ и CC₁ пересекают отрезки C₁B₁ и B₁A₁ в точках M и N. Докажите, что $\angle MBB_1= \angle NBB_1$.