Главная

Домашка

  • Делимость. Домашка Средняя начинающая

    Каждая задача по 5 баллов!

     

    Задача 1

    Найдите все числа, при делении которых на 7 в частном получится то же число, что и в остатке.

    Задача 2

    При делении некоторого числа m на 13 и 15 получили одинаковые частные, но первое деление было с остатком 8, а второе без остатка. Найдите число m.

    Задача 3

    Изменятся ли частное и остаток, если делимое и делитель увеличить в три раза?

    Задача 4

    Может ли сумма трех последовательных натуральных чисел быть простым числом?

    Задача 5

    Докажите, что n3 + 2n делится на 3 для любого натурального n.

    Задача 6

    Найдите остатки от деления 
    а) 1989 × 1990 × 1991 + 19922 на 7; 
    б) 9100на 8.

    Задача 7

    Натуральные числа x, y, z таковы, что x2 + y2 = z2. Докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3.

    Задача 8

    Найдите наименьшее натуральное число, дающее следующие остатки: 1 - при делении на 2, 2 - при делении на 3, 3 - при делении на 4, 4 - при делении на 5, 5 - при делении на 6.

    Задача 9

    Найдите наименьшее число, дающее следующие остатки: 1 - при делении на 2, 2 - при делении на 3, 3 - при делении на 4, 4 - при делении на 5, 5 - при делении на 6.

    Задача 10

    Сколько существует натуральных чисел n, меньших 10000, для которых  2n – n2  делится на 7?

    Задача 11

    Маша задумала натуральное число и нашла его остатки при делении на 3, 6 и 9. Сумма этих остатков оказалась равна 15. Найдите остаток от деления задуманного числа на 18.

    Задача 12

    Целые числа x , y и z таковы, что 

     (x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z.

    Докажите, что число x+y+z делится на 27.

    Задача 13

    Найдите наименьшее натуральное число, дающее при делении на 2, 3, 5, 7 остатки 1, 2, 4, 6 соответственно. 

    Задача 14

    Докажите, что 22225555 + 55552222 делится на 7.

    Задача 15

    Докажите, что среди 51 целого числа найдутся два, квадраты которых дают одинаковые остатки при делении на 100.

    Задача 16

    Докажите следующие соотношения: 
    а) 241 - 1 делится на 83; б) 270 + 370 делится на 13; в) 215 - 1 делится на 20801. 

    Задача 17

    При каких целых n выражение n2 - 6n - 2 делится на 
    а) 8; б) 9; в) 11; г) 121? 

    Задача 18

    Найдите все такие пары простых чисел p и q , что p3-q5=(p+q)2 .

          Решений: 4

  • Площадь и отношение(младшая домашка средняя тоже можно по решать)

    Каждая задача по 7 баллов!

    для средней группы 6-7 классов будет по 5... для 8-9 класников будет по 2 балла

    Задача 1

    На сторонах AB и AC треугольника ABC, площадь которого равна 36 см2, взяты соответственно точки M и K так, что AM/MB = 1/3, а AK/KC = 2/1. Найдите площадь треугольника AMK.

    Задача 2

    Точки M и N расположены на стороне BC треугольника ABC, а точка K – на стороне AC, причём BM : MN : NC = 1 : 1 : 2 и CK : AK = 1 : 4. Известно, что площадь треугольника ABC равна 1. Найдите площадь четырёхугольника AMNK.

    Задача 3 

    Точка M делит сторону AB треугольника ABC в отношении 2 : 5. В каком отношении отрезок CM делит площадь треугольника ABC? 

    Задача 4

    На стороне AB треугольника ABC взяты точки M и N, причём AM : MN : NB = 2 : 2 : 1, а на стороне AC — точка K, причём AK : KC = 1 : 2. Найдите площадь треугольника MNK, если площадь треугольника ABC равна 1.

    Задача 5

    Через точки M и N, делящие сторону AB треугольника ABC на три равные части, проведены прямые, параллельные стороне BC. Найдите площадь части треугольника, заключённой между этими прямыми, если площадь треугольника ABC равна 1. 

    Задача 6

    В треугольнике ABC известны стороны BC = a, AC = b, AB = c и площадь S. Биссектрисы BM и CN пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника BOC.

    Задача 7 

    На сторонах AB, BC, CD и AD выпуклого четырёхугольника ABCD расположены точки M, N, K и L соответственно, причём AM : MB = 3 : 2, CN : NB = 2 : 3, CK = KD и AL : LD = 1 : 2. Найдите отношение площади шестиугольника MBNKDL к площади четырёхугольника ABCD.

    Задача 8

    Площадь трапеции равна 84, а основания относятся как 3:4. Найдите площади треугольников, на которые разбивает трапецию её диагональ.

    Задача 9

    В треугольнике ABC угол A равен 60o ; AB:AC=3:2 . На сторонах AB и AC расположены соответственно точки M и N так, что BM=MN=NC . Найдите отношение площади треугольникаAMN к площади треугольника ABC .

    Задача 10

    Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основанием AD и BC пресекаются в точке O . Известно, что AD=2BC и площадь треугольника AOB равна 4. Найдите площадь трапеции.

    Задача 11

    Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найдите площадь треугольника с вершинами в точках касания вписанной окружности со сторонами треугольника.

    Задача 12

    Точки D и E расположены на стороне AC треугольника ABC . Прямые BD и BE разбивают медиану AM треугольника ABC на три равных отрезка. Найдите площадь треугольника BDE , если площадь треугольника ABC равна 1.

          Решений: 2

  • Задачи для Начинающей по комбинаторике (сочитание)

     

    Каждая задача по 10 баллов

    Задача 1

    Из двух математиков и десяти экономистов надо составить комиссию из восьми человек. Сколькими способами можно составить комиссию, если в нее должен входить хотя бы один математик? 

    Задача 2

    30 человек голосуют по 5 предложениям. Сколькими способами могут распределиться голоса, если каждый голосует только за одно предложение и учитывается лишь количество голосов, поданных за каждое предложение?

    Задача 3

    Сколькими способами 3 человека могут разделить между собой 6 одинаковых яблок, один апельсин, одну сливу и один мандарин?

    Задача 4

    Сколькими способами 4 черных шара, 4 белых шара и 4 синих шара можно разложить в 6 различных ящиков?

    Задача 5

    Было 7 ящиков. В некоторые из них положили еще по 7 ящиков (не вложенных друг в друга) и т. д. В итоге стало 10 непустых ящиков. Сколько всего стало ящиков?

    Задача 6

    План города имеет схему, представляющую собой прямоугольник 5×10 клеток. На улицах введено одностороннее движение: разрешается ехать только вправо и вверх. Сколько есть различных маршрутов, ведущих из левого нижнего угла в правый верхний?

    Задача 7

    Какое наименьшее число карточек спортлото (6 из 49) надо купить, чтобы наверняка хоть в одной из них был угадан хоть один номер?

    Задача 8

    Сколько существует девятизначных чисел, сумма цифр которых четна? 

    Задача 9

    В тёмной комнате на полке в беспорядке лежат 4 пары носков двух разных размеров и двух разных цветов. Какое наименьшее число носков необходимо, не выходя из комнаты, переложить с полки в чемодан, чтобы в нем оказались две пары различного размера и цвета?

    Задача 10

    Пассажир оставил вещи в автоматической камере хранения, а когда пришел получать вещи, выяснилось, что он забыл номер. Он только помнит, что в номере были числа 23 и 37. Чтобы открыть камеру, нужно правильно набрать пятизначный номер. Каково наименьшее количество номеров нужно перебрать, чтобы наверняка открыть камеру?

    Задача 11

    Дан шестизначный номер телефона. Из скольких семизначных номеров его можно получить вычеркиванием одной цифры?

    Задача 12

    Сколькими способами можно составить расписание первого тура чемпионата России по футболу, в котором играет 16 команд? (Является важным, кто хозяин поля.)

    Задача 13

    Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трех букв. Словом является любая последовательность, состоящая не более чем из четырех букв. Сколько слов в языке племени Мумбо-Юмбо? 

    Задача 14

    Сколько существует шестизначных чисел, делящихся на 5? 

    Задача 15

    Сколькими способами можно выбрать четырех человек на четыре различные должности, если имеется девять кандидатов на эти должности? 

    Задача 16

    Сколько четырехзначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4 и 5, если: 
      а) никакая цифра не повторяется более одного раза;
      б) повторения цифр допустимы; 
      в) числа должны быть нечетными и повторений цифр быть не должно?

    Задача 17

    Каких пятизначных чисел больше: не делящихся на 5 или тех, у которых ни первая, ни вторая цифра слева — не пятёрка?

  • задачи для младшей

    Задача 1

     

    Угловая величина дуги равна 110o. Найдите угол между хордой и продолжением радиуса, проведённого в конец дуги.

     

    Задача 2

     

    C — точка на продолжении диаметра AB, CD — касательная, угол ADC равен 110o. Найдите угловую величину дуги BD.

     

    Задача 3

     

    M — середина высоты BD в равнобедренном треугольнике ABC. Точка M служит центром окружности радиуса MD. Найдите угловую величину дуги окружности, заключённой между сторонами BA и BC, если BAC = 65o.

     

    Задача 4

     

    ABC — секущая, A — внешняя точка окружности, угловая величина дуги BD равна 42o, а угловая величина дуги BDC равна 220o. Найдите угол ABD.

     

    Задача 5

     

    AB и AC — равные хорды, MAN — касательная, угловая величина дуги BC, не содержащей точки A, равна 200o. Найдите углы MAB и NAC.

     

    Задача 6

     

    AB и AC — хорды окружности;  AB = 110o,  AC = 40o. Найдите угол BAC.

     

    Задача 7

     

    Пусть O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Найдите угол OAC, если: а) B = 50o; б) B = 126o.

     

    Задача 8

    Биссектриса внешнего угла при вершине C треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке D. Докажите, что AD = BD. 

    Задача 9

    Вершина A остроугольного треугольника ABC соединена отрезком с центром O описанной окружности. Из вершины A проведена высота AH. Докажите, что  BAH = OAC. 

    Задача 10

    Две окружности пересекаются в точках M и K. Через M и K проведены прямые AB и CD соответственно, пересекающие первую окружность в точках A и C, вторую в точках B и D. Докажите, что  AC || BD. 

    Задача 11

    Из произвольной точки M, лежащей внутри данного угла с вершиной A, опущены перпендикуляры MP и MQ на стороны угла. Из точки A опущен перпендикуляр AK на отрезок PQ. Докажите, что  PAK = MAQ. 

    Задача 12

    Две окружности пересекаются в точках P и Q. Через точку A первой окружности проведены прямые AP и AQ, пересекающие вторую окружность в точках B и C. Докажите, что касательная в точке A к первой окружности параллельна прямой BC. 

    Задача 13

    Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O . Описанные окружности треугольников AOB и COD пересекаются в точке М на основании AD . Докажите, что треугольник BMCравнобедренный.

    Задача 14

     

    AB и AC — две хорды, образующие угол BAC, равный 70o. Через точки B и C проведены касательные до пересечения в точке M. Найдите BMC.

     

    Задача 15

     

    Прямая касается окружности с центром O в точке A. Точка C на этой прямой и точка D на окружности расположены по разные стороны от прямой OA. Найдите угол CAD, если уголAOD равен 110o.

     

    Задача 16

    Касательная в точке A к описанной окружности треугольника ABC пересекает прямую BC в точке E; AD — биссектриса треугольника ABC. Докажите, что AE = ED. 

    Задача 17

    Через вершину A остроугольного треугольника ABC проведены биссектрисы AM и AN внутреннего и внешнего углов и касательная AK к описанной окружности треугольника ABC (точкиM , K , N лежат на прямой BC ). Докажите, что MK=KN .

    Задача 18

    Треугольники ABC и ADC имеют общую сторону AC ; стороны AD и BC пересекаются в точке M . Углы B и D равны по  40o . Расстояние между вершинами D и B равно стороне AB , AMC = 70o . Найдите углы треугольников ABC и ADC .

    Задача 19

    Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC , пересекая сторону AB в точке E и сторону BC в точке F . Угол AEC в 5 раз больше угла BAF , а угол ABC равен  72o . Найдите радиус окружности, если AC = 6 .

    Задача 20

    В треугольнике ABC проведены медианы AA1 и BB1. Докажите, что если  CAA1 = CBB1, то AC = BC. 

    Задача 21

    В треугольнике ABC проведена высота AH, а из вершин B и C опущены перпендикуляры BB1 и CC1 на прямую, проходящую через точку A. Докажите, что  ABC  HB1C1. 

    Задача 22

    Биссектрисы углов A и B треугольника ABC пересекают описанную окружность треугольника в точках A1 и B1 . Вписанная окружность касается сторон AC и BC в точках A2 и B2 . Докажите, что A1B1 || A2B2 .

    Задача 23

    ABCD — выпуклый четырёхугольник, AB=BC и AD=DC . На диагонали AC нашлась такая точка K , что AK=BK и четырёхугольник KBCD — вписанный. Докажите, что BD=CD .

    Задача 24

    В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что  ACB = 25o ,  ACD = 40o и  BAD = 115o . Найдите угол ADB .

    Задача 25

    На хорде AB окружности S с центром O взята точка C. Описанная окружность треугольника AOC пересекает окружность S в точке D. Докажите, что BC = CD. 

  • Домашка для начинаюшей группы (разное)

    Каждая задача по 5 баллов!

    Задача 1

    На столе лежат в ряд пять монет: средняя  — вверх орлом, а остальные  — вверх решкой. Разрешается одновременно перевернуть три рядом лежащие монеты. Можно ли при помощи нескольких таких переворачиваний все пять монет положить вверх орлом?

    Задача 2

    Из набора гирек с массами 1, 2, ..., 101 г потерялась гирька массой 19 г. Можно ли оставшиеся 100 гирек разложить на две кучки по 50 гирек в каждой так, чтобы массы обеих кучек были одинаковы?

    Задача 3

    В равенстве 101 – 102 = 1 передвиньте одну цифру так, чтобы оно стало верным.

    Задача 4

    Расшифруйте ребус, изображённый на рисунке. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным  — разные.

    Задача 5

    В двух кошельках лежат две монеты, причём в одном кошельке монет вдвое больше, чем в другом. Как такое может быть?

     

    Задача 6

    Монету бросают трижды. Сколько разных последовательностей орлов и решек можно при этом получить?

     

    Задача 7

    Однажды на лестнице была найдена странная тетрадь. В ней было записано сто утверждений:

            "В этой тетради ровно одно неверное утверждение";

            "В этой тетради ровно два неверных утверждения";

            "В этой тетради ровно три неверных утверждения";

    ...

            "В этой тетради ровно сто неверных утверждений".

     

    Есть ли среди этих утверждений верные, и если да, то какие?

    Задача 8

    Три ёжика делили три кусочка сыра массами 5 г, 8 г и 11 г. Лиса стала им помогать. Она может от любых двух кусочков одновременно отрезать и съесть по 1 г сыра. Сможет ли лиса оставить ёжикам равные кусочки сыра?

     

    Задача 9

    Замените каждую букву на схеме цифрой от 1 до 9 так, чтобы выполнялись все неравенства, а затем расставьте буквы в порядке возрастания их числовых значений. Какое слово у вас получилось?

    Задача 10

    Имеются 12-литровый бочонок, наполненный квасом, и два пустых бочонка  — в 5 и 8 л. Попробуйте, пользуясь этими бочонками: а) разделить квас на две части  — 3 и 9 л; б) разделить квас на две равные части.

    Задача 11

    Девочка заменила каждую букву в своём имени её номером в русском алфавите. Получилось число 2011533. Как её зовут?

    Задача 12

    Золотоискатель Джек добыл 9 кг золотого песка. Сможет ли он за три взвешивания отмерить 2 кг песка с помощью чашечных весов: а) с двумя гирями  — 200 г и 50 г; б) с одной гирей 200 г?

  • Задачи на неравенство (для старшей группы часть 1)

    Задачи прорешать!

    для старшей группы:

    1. (3 point) Даны $a, b, c > 0 $ такие что $ a+b+c = 3 $ Доказать   $ \frac{a}{3a+b^{2}}+\frac{b}{3b+c^{2}}+\frac{c}{3c+a^{2}} \le \frac{3}{4} $
    2. (5 point) Пусть $ a, b, c>0, ab+bc+ca=1 $ тогда $(\frac{a}{1+a^{2}})^{2}+(\frac{b}{1+b^{2}})^{2}+(\frac{c}{1+c^{2}})^{2}\leq\frac{9}{16} $
    3. (7 point) Пусть $ a, b, c, d>0$ и  $ a^{3}+b^{3}+3ab = c+d = 1,$  тогда  $\left(a+\frac{1}{a}\right)^{3}+\left(b+\frac{1}{b}\right)^{3}+\left(c+\frac{1}{c}\right)^{3}+\left(d+\frac{1}{d}\right)^{3} \geq 40. $
    4. (7 point) Доказать для $ x,y,z>0 $ $ \frac{x^{3}}{(y+1)(z+1)}+\frac{y^{3}}{(x+1)(z+1)}+\frac{z^{3}}{(y+1)(x+1)}\ge\frac{3}{4} $
    5. (7 point) $a,b,c > 0,   a+b+c=1 $ $ \sum_{cyc} {  \sqrt{ \frac{ab}{ab+c} }  } \leq \frac{3}{2} $
    6. (5 point) $a,b,c > 0 \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{ 1}{c}< 1. $  и они целые числа тогда $ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{ 1}{c}\leq\frac{41}{42}. $
    7. (10 point) $a,b,c > 0 a+b+c=1 $ $a^{3}b^{2}+b^{3}c^{2}+c^{3}a^{2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\ge 2ab(ab+2c^{2})$
    8. (3 point) $a,b,c > 0 a+b+c=1 $   тогда $ \frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{a+c}\geq\frac{1}{2}$
    9. (3 point) $1 \geq a,b,c \geq 0 $ $ \frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab}\leq 2 $
    10. (3 point) $a,b,c > 0 a+b+c=1 $ $ \frac{ab}{1+c}+\frac{ac}{1+b}+\frac{bc}{1+a}\leq\frac{1}{4} $
    11. (3 point) Prove that for all a,b,c \ge 0 :
      a^3+b^3+c^3 \ge a^2b+b^2c+c^2a \ge 3abc
    12. (7 point) $x$ and $y$ are positive real numbers such that

      $x^2 + y^3 \leq x^3 +y^4$

      Prove  $x^3 + y^3 \leq 2$
    13. (3 point) Prove that : \frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} \geq \frac{1}{1+xy}
    14. (7 point) Prove that for all positive real numbers a,b,c the following inequality takes place
      \frac{1}{b(a+b)}+ \frac{1}{c(b+c)}+ \frac{1}{a(c+a)} \geq \frac{27}{2(a+b+c)^2} .
      Laurentiu Panaitopol, Romania
    15. (7 point) Let a,b,c be positive real numbers. Prove that :
      \frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geq\sqrt{\frac{3}{2}(a+b+c)}
    16. (10 point) Let a,b,c \geq 0. Prove that inequality
    17. \frac{a^2}{2.a^2+(b+c-a)^2} + \frac{b^2}{2.b^2+(a+c-b)^2} + \frac{c^2}{2.c^2+(a+b-c)^2} \leq 1
    18. (10 point) Three nonnegative real numbers satisfy a,b,c satisfy a^2\le b^2+c^2, b^2\le c^2+a^2 and c^2\le a^2+b^2. Prove the inequality
    19. (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3)\ge 4(a^6+b^6+c^6).
    20. (5 point) (Iran 1996... famous ineq)  For x,y,z positive real numbers prove that

      (xy+yz+zx)(\frac{1}{(x+y)^2} + \frac{1}{(y+z)^2} + \frac{1}{(z+x)^2}) \geq \frac{9}{4}
    21. (10 point) Let a, b, c>0 such that abc=8. Prove that:
    22. \sum \frac{a^2}{\sqrt{(a^3+1)(b^3+1)}}\ge \frac{4}{3}
    23. (7 point) Prove that for all positive reals x, y, z, we have:

      a) \sum\frac{x}{y+z}\leq\frac32\cdot\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx};
      b) \sum\left(\frac{x}{y+z}\right)^2\geq\frac34\cdot\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}.
    24. (7 points) Let a, b, c be positive real numbers with abc \leq a+b+c. Show that a^2 + b^2 + c^2 \geq \sqrt 3 abc.
      Cristinel Mortici, Romania
    25. (5 points) Let x,y,z>0 such that: xyz \ge xy+zy+zx
      Prove that: xyz \ge 3(x+y+z)
    26. (7 points) For x,y,z \ge 0 and xy+yz+zx=3 Prove that :
      \sqrt{\frac{1+2x}{3}}+\sqrt{\frac{1+2y}{3}}+\sqrt{\frac{1+2z}{3}} \geq 3 
          Решений: 9

  • Задание для начинающих 3,4,5 до лагеря
    Каждая задача по 5 баллов!!!
    1. В стакане находятся бактерии. Через секунду каждая из бактерий делится пополам, затем каждая из получившихся бактерий через секунду делится пополам и так далее. Через минуту стакан полон. Через какое время стакан был заполнен наполовину?
    2. Из книги выпал кусок, первая страница которого имеет номер 183, а номер последней записывается теми же цифрами в каком-то другом порядке. Сколько страниц в выпавшем куске?
    3. В мешке 24 кг гвоздей. Как, имея только весы без стрелки, отмерить 9 кг гвоздей?
    4. Червяк ползет по столбу, начав путь от его основания. Каждый день он проползает вверх на 5 см, а за каждую ночь сползает вниз на 4 см. Когда он достигнет верхушки столба, если его высота равна 75 см?
    5. Из числа 1234512345123451234512345 вычеркните 10 цифр так, чтобы оставшееся число было максимально возможным.
    6. Петя говорит: позавчера мне еще было 10 лет, а в следующем году мне исполнится 13. Может ли такое быть?
    7. Составьте из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 магический квадрат, то есть разместите их в таблице 3 × 3 так, чтобы суммы чисел по строкам, столбцам и двум диагоналям были одинаковы.
    8. Как разложить по семи кошелькам 127 рублевых бумажек так, чтобы любую сумму от 1 до 127 рублей можно было бы выдать, не открывая кошельков?
    9. В магазине «Все для чая» есть еще 4 чайные ложки. Сколькими способами можно купить комплект из чашки, блюдца и ложки?
    10. В Стране Чудес есть три города: А, Б и В. Из города А в город Б ведет 6 дорог, а из города Б в город В – 4 дороги. Сколькими способами можно проехать от А до В?
    11. В Стране Чудес есть четыре города: А, Б и В и Г. Из города А в город Б ведет 6 дорог, а из города Б в город В – 4 дороги, Из города А в город Г – две дороги, и из города Г в город В – тоже две дороги. Сколькими способами можно проехать от А до В?
    12. В магазине «Все для чая» по-прежнему продается 5 чашек, 3 блюдца и 4 чайные ложки. Сколькими способами можно купить два предмета с разными названиями?
    13. Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трех букв А, Б и В. Словом является любая последовательность, состоящая не более, чем из 4 букв. Сколько слов в языке племени Мумбо-Юмбо? Указание. Сосчитайте отдельно количества одно-, двух-, трех- и четырехбуквенных слов.
    14. В мешке лежат шарики двух разных цветов: черного и белого. Какое наименьшее число шариков нужно вынуть из мешка вслепую так, чтобы среди них заведомо оказались два шарика одного цвета?
    15. Есть три человека: А, В и С, про которых известно, что один из них рыцарь, другой – лжец, а третий – приезжий, нормальный человек, который может и говорить правду и лгать.  А говорит: «Я нормальный человек». В говорит: «А и С иногда говорят правду». С говорит: «В – нормальный человек». Кто из них лжец, кто – рыцарь, а кто – кормальный человек?
    16. Имеются двое песочных часов: на 7 минут и на 11 минут. Яйцо варится 15 минут. Как отмерить это время при помощи имеющихся часов?
    17. В кабине лифта 20-этажного дома есть две кнопки. При нажатии на одну из них лифт поднимается на 13 этажей, а при нажатии на другую – опускается на 8 этажей. Как попасть с 13-го этажа на 8-й?
    18. За один ход число, написанное на доске, разрешается либо заменить на удвоенное, либо стереть у него последнюю цифру. Вначале на доске написано число 458. Как за несколько ходов получить число 14?
    19. В ряд выложены карточки, на которых написаны числа 7, 8, 9, 4, 5, 6, 1, 2, 3. Разрешается взять несколько подряд лежащих карточек и переставить их в обратном порядке. Можно ли за три таких операции добиться расположения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?
    20. Можно ли натуральные числа от 1 до 100 выписать в строчку так, чтобы разность любых двух соседних (из большего вычитают меньшее) была не меньше 50?
    21. Разложите гири с весами 1, 2, 3, …, 555 на три кучи, равные по весу.
    22. В клетках таблицы 4 × 4 расставьте числа, не равные нулю так, чтобы сумма чисел, стоящих в углах любого квадрата 2 × 2, 3 × 3 или 4 × 4, была равна нулю.
    23. Можно ли на ребрах куба расставить числа от 1 до 12 так, чтобы все суммы чисел на гранях были одинаковы?
    24. Можно ли расставить числа от 0 до 9 (каждое по разу) в кружках на рисунке так, чтобы все суммы в вершинах заштрихованных треугольников были одинаковы?
    25. Докажите, что в 400-значном числе 84198419 … 8419 можно вычеркнуть несколько цифр в начале и в конце так, чтобы сумма оставшихся цифр была равна 1984.
    26. Найдите двузначное число, сумма цифр которого не меняется при умножении на любое однозначное число.
    27. Есть 9 монет, одна из которых фальшивая (она легче настоящих). За два взвешивания определите фальшивую монету.
    28. Есть 10 мешков с монетами. Один из них целиком заполнен фальшивыми монетами, которые на один грамм легче настоящих. За одно взвешивание на весах со стрелкой, показывающей разность весов на чашках, определите «фальшивый» мешок.
    29. Имеется 101 монета. Среди них 100 одинаковых настоящих монет и одна фальшивая, отличающаяся от них по весу. Необходимо выяснить, легче или тяжелее фальшивая монета, чем настоящая. Как это сделать при помощи двух взвешиваний на чашечных весах без гирь?
    30. Есть 6 монет, из которых две – фальшивые, весящие меньше настоящих. За 3 взвешивания определите обе фальшивые монеты.
    31. Есть 5 монет, из которых три настоящих, одна – фальшивая, которая весит больше настоящей, и одна – фальшивая, которая весит меньше настоящей. За три взвешивания определите обе фальшивые монеты.
    32. Имеется 68 монет, различных по весу. За 100 взвешиваний найдите самую тяжелую и самую легкую монеты.
    33. Есть 64 камня с различными весами. За 68 взвешиваний найдите два самых тяжелых камня.
    34. Имеется 6 гирь: по паре зеленых, красных и белых. В каждой паре одна гиря тяжелая, а другая – легкая, причем все тяжелые гири весят одинаково и все легкие гири весят одинаково. За 2 взвешивания определите все 3 тяжелые гири.
    35. В классе 14 человек занимаются английским языком, 8 человек – французским. Трое учеников при этом изучают оба языка. Сколько учеников в классе, если известно, что каждый изучает хотя бы один язык?
    36. Автобус назовем переполненным, если в нем больше 50 пассажиров. Едет колонна автобусов. Что больше – процент переполненных автобусов или процент пассажиров, едущих в переполненных автобусах?

          Решений: 40

  • Задачи шутки (для начинающей группы 3 и 5)

    Задача 1

    В двух кошельках лежат две монеты, причём в одном кошельке монет вдвое больше, чем в другом. Как такое может быть?

     

    Задача 2

    Мальчик Стёпа говорит: позавчера мне было 10 лет, а в следующем году мне исполнится 13. Может ли такое быть?

    Задача 3

    В 10-этажном доме на первом этаже живет 1 человек, на втором — 2, на третьем — 3, на четвертом — 4, ... на десятом — 10. На каком этаже лифт останавливается чаще всего?

    Задача 4

    В книжном шкафу стоят по порядку четыре тома собрания сочинений Астрид Линдгрен, по 200 страниц в каждом томе. Червячок, живущий в этом собрании прогрыз путь от первой страницы первого тома до последней страницы четвертого тома. Сколько страниц прогрыз червячок?

    Задача 5

    Имеются два кошелька и одна монета. Внутри первого кошелька одна монета, и внутри второго кошелька одна монета. Как такое может быть?

    Задача 6

    Женя не успел влезть в лифт на первом этаже дома и решил пойти по лестнице. На третий этаж он поднимается за 2 минуты. Сколько времени у него займет подъем до девятого этажа?

    Задача 7

    Сын отца профессора разговаривает с отцом сына профессора, причем сам профессор в разговоре не участвует. Может ли такое быть?

     

    Задача 8

    В комнате стоят трехногие табуретки и четырехногие стулья. Когда на все эти сидячие места уселись люди, в комнате оказалось 39 ног. Сколько в комнате табуреток?

    Задача 9

    В одном стакане было молоко, а в другом - столько же кофе. Из стакана молока перелили одну ложку в стакан с кофе и размешали. Затем такую же ложку смеси перелили обратно в стакан с молоком. Чего теперь больше: кофе в стакане с молоком или молока в стакане с кофе?

    Задача 10

    Покупатель взял у продавца товара на 10 р. и дал 25 р. У продавца не нашлось сдачи, и он разменял деньги у соседа. Когда они расплатились и покупатель ушёл, сосед обнаружил, что 25 р. фальшивые. Продавец вернул соседу 25 р. и задумался. Какой убыток понёс продавец?

          Решений: 2

  • Индукция часть 4

    Каждая задача по 7 баллов!

     

    Задача 1

    Докажите неравенство для натуральных n: $ {\dfrac{(2n)!}{(n!)^2}}$ > $ {\dfrac{4^n}{n+1}}$. 

     Задача 2

    Числовая последовательность A1, A2,..., An,... определена равенствами 

    A1 = 1,    A2 = - 1,    An = - An - 1 - 2An - 2        (n  3).

    Докажите, что при n  2 число 2n + 2 - 7An2 является полным квадратом. 

    Задача 3

    Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде суммы нескольких различных членов последовательности Фибоначчи. (Последовательность Фибоначчи {an} определяется условиями a1=1, a2=2, an+2=an+1+an.)

    Задача 4

    Из чисел от 1 до 2n выбрано n + 1 число. Докажите, что среди выбранных чисел найдутся два, одно из которых делится на другое. 

    Задача 5

    В классе каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном. При этом болтун молчит, если в кабинете находится нечетное число его друзей - молчунов. Докажите, что учитель может пригласить на факультатив не менее половины класса так, чтобы все болтуны молчали.

    Задача 6

    Натуральные числа a1, a2, ..., an таковы, что каждое не превышает своего номера (ak ≤ k) и сумма всех чисел — чётное число. Доказать, что одна из сумм a1 ± a2 ± a3 ± ... ±an равна нулю.

    Задача 7

    Для любого натурального числа n существует составленное из цифр 1 и 2 число, делящееся на 2n. Докажите это.
    (Например, на 2 делится 2, на 4 делится 12, на 8 делится 112, на 16 делится 2112...)

    Задача 8 Куб с ребром  2n+1 разрезают на кубики с ребром 1 и бруски размера  2x 2x 1 . Какое наименьшее количество единичных кубиков может при этом получиться?

    Задача 9 Докажите, что для любого натурального n 10n + 18n – 1 делится на 27.

    Задача 10   - натуральное число, . Докажите, что .

    Задача 11

    Докажите, что при  выполняется неравенство

    Задача 12

     

     - натуральное число. Докажите, что

     

     

    Задача 13

     - натуральное число. Докажите, что 

    Задача 14

    Тождество Кассини. Докажите равенство

    Fn + 1Fn - 1 - Fn2 = (- 1)n        (n > 0).

    Будет ли тождество Кассини справедливо для всех целых n? 

     

    Задача 15

    Докажите следующие свойства чисел Фибоначчи: 

    а) F1 + F2 +...+ Fn = Fn + 2 - 1; в) F2 + F4 +...+ F2n = F2n + 1 - 1;
    б) F1 + F3 +...+ F2n - 1 = F2n; г) F12 + F22 +...+ Fn2 = FnFn + 1. 

    Задача 16

    Дана последовательность чисел U1, U2...; U1 = U2 = 1 и Un + 2 = Un + Un + 1. Доказать, что U5k делится на 5 при k = 1, 2,....

    Задача 17

     - натуральное число. Докажите, что

     

    Задача 18

    На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 20. Разрешается стереть любые два числа a и b и заменить их суммой ab + a + b. Какое число может получиться после 19 таких операций?

    Задача 19

    В клетках таблицы размером 10×20 расставлено 200 различных чисел. В каждой строчке отмечены 2 наибольших числа красным цветом, а в каждом столбце отмечены 2 наибольших числа синим цветом. Доказать, что не менее трёх чисел отмечены в таблице как красным, так и синим цветом.

          Решений: 2

  • Домашка для старшей группы (геом. неравенство часть 1)

    Задача 1 Окружность, вписанная в треугольник ABC касается его сторон AB и AC соответственно в точках M и N. Докажите, что BN > MN.

     

    Задача 2 Биссектриса угла при основании BC равнобедренного треугольника ABC пересекает боковую сторону AC в точке K. Докажите, что BK < 2CK.

     

    Задача 3 Две окружности радиусов r и R (r < R) пересекаются. Докажите, что расстояние между их центрами меньше, чем r + R, но больше, чем R - r.

     

    Задача 4 Докажите, что среди всех треугольников с данным основанием и высотой, опущенной на это основание, наибольшую величину противолежащего угла имеет равнобедренный треугольник.

     

    Задача 5 Точки M и N лежат на сторонах соответственно AB и AC треугольника ABC, причём AM = CN и AN = BM. Докажите, что площадь четырёхугольника BMNC по крайней мере в три раза больше площади треугольника AMN.

     

    Задача 6 Докажите,что площадь любого четырёхугольника ABCD не превосходит $ {\frac{1}{2}}$(AB . BC + AD . DC).

     

    Задача 7 Докажите, что если внутри треугольника ABC существует точка D, для которой AD = AB, то AB < AC.

     

    Задача 8 Все стороны выпуклого пятиугольника равны, а все углы различны. Докажите, что максимальный и минимальный углы прилегают к одной стороне пятиугольника.

    Задача 9 На продолжении стороны AC треугольника ABC отложен отрезок CD = CB. Докажите, что если AC > BC, то угол ABD — тупой.

     

    Задача 10 BD — биссектриса треугольника ABC, причём AD > CD. Докажите, что AB > BC.

     

    Задача 11 Докажите, что если точка M лежит внутри треугольника ABC, то MB + MC < AB + AC.

     

    Задача 12 Периметр выпуклого четырёхугольника равен 4. Докажите, что площадь четырёхугольника не превосходит 1.

     

    Задача 13 Пусть E, F, G, H — середины сторон AB, BC, CD, DA выпуклого четырёхугольника ABCD. Докажите, что SABCD $ \leqslant$ EG . HF.

     

    Задача 14 Вписанная окружность касается сторон AC и BC треугольника ABC в точках B1 и A1 соответственно. Докажите, что если AC > BC, то AA1 > BB1.

     

    Задача 15 a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Пусть  p = $ {\frac{a}{b}}$ + $ {\frac{b}{c}}$ + $ {\frac{c}{a}}$ и  q = $ {\frac{a}{c}}$ + $ {\frac{c}{b}}$ + $ {\frac{b}{a}}$. Докажите, что | p - q| < 1. 

    Задача 16 Дан треугольник ABC и точка D внутри его, причем AC - DA > 1 и BC - BD > 1. Пусть E — произвольная точка внутри отрезка AB. Докажите, что EC - ED > 1. 

    Задача 17 Внутри треугольника ABC взята точка M. Докажите, что  4S $ \leq$ AM . BC + BM . AC + CM . AB, где S — площадь треугольника ABC. 

    Задача 18 Пусть M и N — середины сторон BC и CD выпуклого четырехугольника ABCD. Докажите, что  SABCD < 4SAMN. 

    Задача 19 Диагонали делят выпуклый четырехугольник ABCD на четыре треугольника. Пусть P — периметр четырехугольника ABCD, Q — периметр четырехугольника, образованного центрами вписанных окружностей полученных треугольников. Докажите, что  PQ > 4SABCD. 

    Задача 20 Докажите, что расстояние от одной из вершин выпуклого четырехугольника до противоположной диагонали не превосходит половины этой диагонали. 

    Задача 21 а) Докажите, что если a, b, c — длины сторон произвольного треугольника, то  a2 + b2 $ \geq$ c2/2.  б) Докажите, что  ma2 + mb2 $ \geq$ 9c2/8. 

    Задача 22 Пусть a < b. Докажите, что  a + ha $ \leq$ b + hb. 

    Задача 23 Докажите, что  la $ \leq$ $ \sqrt{p(p-a)}$. 

    Задача 24 Докажите, что: 

    а)  3$ \sqrt{3}$r2 $ \leq$ S $ \leq$ p2/3$ \sqrt{3}$; 
    б)  S $ \leq$ (a2 + b2 + c2)/4$ \sqrt{3}$. 

    Задача 25 Докажите, что для остроугольного треугольника

     

    $\displaystyle {\frac{m_a}{h_a}}$ + $\displaystyle {\frac{m_b}{h_b}}$ + $\displaystyle {\frac{m_c}{h_c}}$ $\displaystyle \leq$ 1 + $\displaystyle {\frac{R}{r}}$.

    Задача 26 Докажите, что если треугольник не тупоугольный, то  ma + mb + mc $ \geq$ 4R. 

    Задача 27 $ \Delta$ABC разбит прямой BD на два треугольника. Докажите, что сумма радиусов окружностей, вписанных в $ \Delta$ABD и $ \Delta$DBC, больше радиуса окружности, вписанной в $ \Delta$ABC.

    Задача 28 Точки A' , B' и C' лежат на сторонах соответственно BC , AC и AB треугольника ABC , причём отрезки AA' , BB' и CC' пересекаются в одной точке. Докажите, что площадь треугольника A'B'C' не превосходит четверти площади треугольника ABC .

    Задача 29 В треугольнике ABC на стороне AB выбрана точка D , отличная от B , причём  =  . Докажите, что угол C – тупой.

    Задача 30 Прямоугольник ABCD с площадью 1 сложили по прямой так, что точка C совпала с A . Докажите, что площадь получившегося пятиугольника меньше  .

          Решений: 3

Архив данных

Новые обсуждения форума

подробнее

Новые пользователи

Сейчас на сайте

Сейчас на сайте 0 пользователей и 5 гостей.

Подписка

RSS-материал

Theme by Danetsoft and Danang Probo Sayekti inspired by Maksimer