Геометрия

Немного геометрий для средней группы, (легкие)

Каждая по 5 баллов

Задача 1

В треугольнике PQR угол QRP равен 60^o. Найдите расстояние между точками касания со стороной QR окружности радиуса 2, вписанной в треугольник, и окружности радиуса 3, касающейся продолжений сторон PQ и PR.

Задача 2

Окружность радиуса 3, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке D. Окружность радиуса 4 касается продолжения сторон AB и AC и касается стороны BC в точке E. Найдите ED, если $\angle$ BCA = 120^o.

Задача 3

На одной стороне угла с вершиной O взята точка A , а на другой – точки B и C , причём точка B лежит между O и C . Проведена окружность с центром O1 , вписанная в треугольник OAB , и окружность с центром O2 , касающаяся стороны AC и продолжений сторон OA и OC треугольника AOC . Докажите, что если O1A=O2A , то треугольник ABC – равнобедренный.

Задача 4

Точки A, B, C и D лежат на окружности. Точки M, N, K и L — середины дуг AB, BC, CD и DA, последовательно расположенных на окружности. Докажите, что хорды MK и NL перпендикулярны.

Задача 5

На стороне BC треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая отрезок AB в точке D. Найдите отношение площадей треугольников ABC и BCD, если известно, что AC = 15, BC = 20 и $\angle$ ABC = $\angle$ ACD.

Задача 6

На основании AB равнобедренного треугольника ABC взята точка D, причём BD - AD = 4. Найдите расстояние между точками, в которых окружности, вписанные в треугольники ACD иBCD, касаются отрезка CD.

Задача 7

В окружность радиуса 5 вписан четырёхугольник ABCD, у которого угол D прямой, AB : BC = 3 : 4. Найдите периметр четырёхугольника ABCD, если его площадь равна 44.
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Задачи для Начинающих геометров

В этой статье я вывешу вам очень легкие задачи для самых начинающих а это у нас 5-6-7 классы..

Задачи на сумму углов треугольника и на равенство треугольников:

Задача 1

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC, равным 37, внешний угол при вершине B равен 60o. Найдите расстояние от вершины C до прямой AB.

Задача 2

ABC — равнобедренный треугольник с основанием AC; CD — биссектриса угла C; ADC = 150o. Найдите B.

Задача 3

Прямая, проходящая через вершину A треугольника ABC, пересекает сторону BC в точке M. При этом BM = AB, BAM = 35o, CAM = 15o. Найдите углы треугольника ABC.

Задача 4

Дан квадрат ABCD. На стороне AD внутрь квадрата построен равносторонний треугольник ADE. Диагональ AC пересекает сторону ED этого треугольника в точке F. Докажите, что CE = CF.

Задача 5

Дан треугольник ABC. На продолжении стороны AC за точку A отложен отрезок AD = AB, а за точку C — отрезок CE = CB. Найдите углы треугольника DBE, зная углы треугольника ABC.

Задача 6

Высоты треугольника ABC, проведённые из вершин A и C, пересекаются в точке M. Найдите AMC, если A = 70o, C = 80o.

Задача 7

Если на гипотенузе BC равнобедренного прямоугольного треугольника ABC отметить две точки E и D так, что BE = BA и CD = CA, то DAE = 45o. Докажите.

Задача 8

В равнобедренном треугольнике ABC высоты AD и CE, опущенные на боковые стороны, образуют угол AMC, равный 48o. Найдите углы треугольника ABC.

Задача 9

Два угла треугольника равны 10o и 70o. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины третьего угла треугольника.

Задача 10

В прямоугольном треугольнике ABC на гипотенузе AB взяты точки K и M, причем AK = AC и BM = BC. Найдите угол MCK.

Задача 11

На стороне BC равнобедренного треугольника ABC ( AB=BC ) взяли точки N и M ( N ближе к B , чем M ) такие, что NM=AM и MAC = BAN . Найдите CAN .

Задача 12

Дан равнобедренный треугольник ABC ( AB=AC ). На продолжении стороны AC за точку C отложен отрезок CD , равный BC . Оказалось, что BD=AB . Найдите углы треугольника ABC .

Задача 13

Прямая, проходящая через вершину A треугольника ABC, пересекает сторону BC в точке M, причём BM = AB. Найдите разность углов BAM и CAM, если ACB = 25o.

Задача 14

BK — биссектриса треугольника ABC. Известно, что AKB : CKB = 4 : 5. Найдите разность углов A и C треугольника ABC.

Задача 15

Через вершину B треугольника ABC проведена прямая, параллельная прямой AC. Образовавшиеся при этом три угла с вершиной B относятся как 3 : 10 : 5. Найдите углы треугольника ABC.

Задача 16

В треугольнике ABC угол A равен 40o, угол B равен 20o, а AB - BC = 4. Найдите длину биссектрисы угла C.

Задача 17

Отрезки АС и BD пересекаются в точке О. Периметр треугольника АВС равен периметру треугольника АВD, а периметр треугольника ACD равен периметру треугольника BCD. Найдите длину АО, если ВО = 10 см.

Задача 18

Медиана треугольника делит пополам его периметр. Докажите, что треугольник равнобедренный.

Задача 19

Периметр треугольника равен 28, середины сторон соединены отрезками. Найдите периметр полученного треугольника.

Задача 20

Дан треугольник с периметром, равным 24. Найдите периметр треугольника с вершинами в серединах сторон данного.

Задача 21

Биссектриса треугольника делит одну из его сторон на отрезки 3 см и 5 см. В каких границах изменяется периметр треугольника?

Задача 22

Треугольники ABC и ABC1 — равнобедренные с общим основанием AB. Докажите равенство треугольников ACC1 и BCC1.

Задача 23

Через вершины А и С треугольника АВС проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла АВС. Они пересекают прямые СВ и ВА в точках К и М соответственно. Найдите длину АВ, если ВМ = 8 см, KC = 1 см и АВ > ВС.

Задача 24

B равнобедренном треугольнике ABС на боковой стороне BС отмечена точка M так, что отрезок MС равен высоте треугольника, проведенной к этой стороне, а на боковой стороне AB отмечена точка K так, что угол KMС — прямой. Hайдите угол ACK.
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Решений: 23
Центроид медианы и его свойства

Центроид делит медианы на отрезки с соотношением 1 к 2
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Еще одна доказательство теоремы пифагора
Доказательство через Дополнительное построение)))

Рис.1
1. Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке 1.
2. Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол — 180°.
3. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и площади внутреннего квадрата.
$(a+b)^2=4\cdot\frac{ab}{2}+c^2;$

$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2;\frac{}{}$

$c^2=a^2+b^2;\frac{}{}$

Что и требовалось доказать.
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Решений: 3

Формула Герона

Формула Герона выражает площадь треугольника через длины трех его сторон.

Теорема (формула Герона). Площадь треугольника со сторонами a, b, c и полупериметром p равна выражению:

Доказательство. Пусть O - центр вписанной в треугольник ABC окружности, r - ее радиус

Рисунок треугольника для доказательства формулы Герона.

Соединив центр O с вершинами A, B и C, получим треугольники AOC, BOC и AOB с высотами, равными r.

Согласно свойству площадей:
пл. треугольника ABC=пл. треугольника AOC+пл. треугольника AOB+пл. треугольника BOC=
= 1/2 b^.r+1/2 c^.r+1/2 a^.r=r/2 (a+b+c)=p^.r.

Выражая r через стороны треугольника a, b и с, получаем

Тогда

,
что и требовалось доказать.

Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь

Решений: 2

Теорема Пифагора должны знать все

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрий, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

Формулировки

Теорема Пифагора: Сумма площадей квадратов, опирающихся на катеты (a и b), равна площади квадрата,

построенного на гипотенузе (c).

Геометрическая формулировка:

Изначально теорема была сформулирована следующим образом:

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Алгебраическая формулировка:

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Т.е обозначив длину гипотенузы треугольника через $c$ , а длины катетов через $a$ и $b$ : $а 2 + b 2 = c 2$

Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.

Обратная теорема Пифагора:

Для всякой тройки положительных чисел $a$ , $b$ и $c$ , такой, что $a 2 + b 2 = c 2$ , существует прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой с.

Доказательство:

Есть много видов доказательство:

Через подобные треугольники))

Следующее доказательство алгебраической формулировки — наиболее простое из доказательств, строящихся напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры.

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. Введя обозначения

$|BC|=a, |AC|=b, |AB|=c\,$ получаем $\frac{a}{c}=\frac{|HB|}{a}; \frac{b}{c}=\frac{|AH|}{b}.$ Что эквивалентно $a^2=c\cdot |HB|; b^2=c\cdot |AH|.\,$ Сложив, получаем $a^2+b^2=c\cdot\left(|HB|+|AH|\right)=c^2.$ или $a^2+b^2=c^2\,$ , что и требовалось доказать
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Решений: 14
Точка Нагеля
Точка Нагеля — точка пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанным окружностями.

Обычно обозначается N.

Свойства?
- Точка Нагеля лежит на одной прямой с инцентро и центройдом, при этом центроид делит отрезок между точкой Нагеля и инцентром в отношении 2 : 1.
- Если точки $T_A \in BC, \quad T_B \in CA, \quad T_C \in AB$ таковы, что каждый из отрезков $A T A$ , $B T B$ и $C T C$ делит периметр треугольника пополам, то эти отрезки пересекаются в одной точке — точке Нагеля.
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Решений: 11
Точка Лемуана

Симедианы треугольника, т.е. прямые, симметричные его медианам относительно соответствующих биссектрис (точнее, отрезки этих прямых), пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Лемуана. Иными словами, точка Лемуана – это точка, изогонально сопряженная Центройду треугольника.

Расстояния от точки Лемуана до сторон треугольника пропорциональны длинам сторон. Сумма квадратов расстояний от точки плоскости до сторон треугольника минимальна, когда эта точка является точкой Лемуана. Точка Лемуана является центроидом своего педального треугольника, и других точек с этим свойством не существует.
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Решений: 2
Тт Точка Торричелли
Определим точку Торричелли.

На сторонах треугольника внешним образом построим равносторонние треугольники. Каждую вершину исходного треугольника соединим со свободной вершиной нового треугольника, построенного на противолежащей стороне.

Точка пересечения полученных отрезков называется точкой Торричелли.

В работе рассматриваются свойства точки Торричелли и их проявление в треугольниках разных видов.
1. Остроугольный треугольник.
2. Треугольник с углом больше 120 градусов.
3. Треугольник с углом в 120 градусов.
4. Прямоугольный треугольник.
5. Равносторонний треугольник.
Свойства точки Торричелли.

С в о й с т в а:

1)Отрезки, соединяющие вершины равносторонних треугольников с противолежащими вершинами исходного треугольника равны.

2) Точка Торричелли принадлежит трем описанным около равносторонних треугольников, построенных внешним образом на сторонах исходного, окружностям.

3) Все стороны исходного треугольника видны из точки Торричелли под углом в 120 градусов.

4)Отрезки, соединяющие вершины равносторонних треугольников являются биссектрисами углов, образованных вершинамиисходного треугольника и точкой Торричелли.

5) Точка Торричелли минимизирует сумму расстояний до вершин исходного треугольника

6)Центры равносторонних треугольников, построенных внешним образом на сторонах

исходного треугольника, являются вершинами

равностороннего треугольника, центр которого совпадает с центроидом исходного треугольника.

7)Получить точку Торричелли можно и другим способом:

надо соединить центры равносторонних

треугольников между собой и с соседними

вершинами исходного треугольника. И путем

симметричного отображения вершин исходного

треугольника относительно сторон получившегося

равностороннего треугольника, путем

соединения центров равносторонних треугольников,

построенных внешним образом на сторонах

исходного. Вершины исходного треугольника

окажутся в одной точке – точке Торричелли.

Для всех видов треугольника выполняются свойства 1,2,7. Свойства 3,4,5,6 не выполняются для треугольника с углом, более или равным 120^о. В остальных видах треугольников свойства точки Торричелли, верные для остроугольного треугольника, также выполняются. Кроме того нами были обнаружены новые свойства.

Особые свойства точки Торричелли (тТ) для треугольника с углом более 180^о.

1)ТТ находится вне треугольника.

2)Только дальняя сторона от тТ видна под углом в 120 градусов, а соседние под

углом в 60 градусов.

3) Центр получившегося равностороннего треугольника не совпадет с центроидом исходного треугольника.

Особые свойства тТ для треугольника с углом равным 180^о.

1)ТТ лежит в вершине исходного треугольника, равной 120^о

2)Противоположная сторона видна под углом в 120 градусов, а смежные под углом в 0 градусов.

3) Центр получившегося равностороннего треугольника не совпадет с центроидом исходного треугольника.

Особые свойства тТ для равностороннего треугольника.

1)ТТ совпадет с ортоцентром, центроидом и точкой пересечения биссектрис исходного треугольника.
1. ТТ является центром вписанной и описанной окружностей исходного
треугольника и центром треугольника, получившегося путем соединения центров равносторонних треугольников, построенных внешним образом на сторонах исходного.

3) Исходный треугольник и равносторонний треугольники, построенные внешним образом на сторонах исходного, образуют новый равносторонний треугольник, который подобен исходному с коэффициентом подобия 2.

4) Маленький треугольник, отсеченный от исходного треугольником, полученным путем соединения центров равносторонних треугольников, построенных внешним образом на сторонах исходного, подобен исходному с коэффициентом подобия 1/3.
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Решений: 8
Как всегда геометрия

Решая одну задачу, у меня в голове появилась другая задачка. Наверное, кому-то она покажется легкой, а кому-то достаточно сложной. Короче, вот она:

1. АВСD вписан в окружность. О – точка пересечений диагоналей АВСD. Оказалось, что перпендикуляр опущенный из точки А на ВD, и перпендикуляр опущенный из точки В на СА пересеклись на стороне СD в точке Е. Пусть М – точка, симметричная точке Е относительно стороне ВА. Докажите, что О является центром вписанной окружности треугольника МСD.

Жду ваших решений! =)
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Решений: 9