Главная » Теория чисел

  • Задача #746
    Уровень: 8-11 (Легкая)

     

    Решите сравнения: 

    а) $8x \equiv 3(mod  13)$;     в) $7x \equiv 2(mod  11)$;    

    б) $17x \equiv 1(mod  37)$;     г) $80x \equiv 17(mod  169)$.

    Чтобы решить сравнение $ax \equiv b(mod  m)$, попробуйте сначала решить в целых числах уравнение ax + my = b. 

  • Задача #745
    Уровень: 8-9 (Средняя)

    Пусть у двух целых положительных чисел равны суммы делителей и равны суммы всех обратных величин к делителям. Докажите, что эти числа равны. 

  • Задача #744
    Уровень: 7-10 (Средняя)

    Натуральные числа $p$ и $q$ взаимно просты. Отрезок [0;1] разбит на $p + q$ одинаковых отрезков. Докажите, что в каждом из этих отрезков, кроме двух крайних лежит ровно одно из $p + q - 2$ чисел 

    $\frac{1}{p}, \frac{2}{p},...\frac{p-1}{p}, \frac{1}{q}, \frac{2}{q},...\frac{q-1}{q},$

  • Задача #648
    Уровень: 8-11 (Средняя)

    Пусть a, n, k \in \mathbb{N}, и число k^{n-1}(a^{n-1}+k-1)-точная n-ая степень натурального числа. Докажите, что a=1.

  • Задача #474
    Уровень: 10-11 ()

    Доказать что для любого натурального $n$, $n!$ делитель  $\prod{2^n-2^k}$

  • Задача #459
    Уровень: 7-9 ()

    7. Найдите наименьшее число элементов во множестве {1,2,3,...,27,28}, которые должны быть удалены, чтобы произведение оставшихся элементов являлось точным квадратов.

          Решений: 3

  • Задача #441
    Уровень: 7-9 ()

    Докажите, что дробь (12n+1)/(30n+2) - несократима ни при каком натуральном .

          Решений: 2

  • Задача #334
    Уровень: 9-10 ()

    Cуществуют ли различные взаимно простые в совокупности натуральные числа $a , b$ и $c$ , большие 1 и такие, что $2^a+1$ делится на $b$ , $2^b+1$ делится на $c$ , а $2^c+1$ делится на $a$ ?

  • Задача #303
    Уровень: 9-11 ()

    Докажите, что при любом нечетном $n$ число $2^{n!}-1$ делится на $n$.

  • Задача #302
    Уровень: 9-11 ()

    Найдите сумму всех правильных несократимых дробей со знаменателем $n$.

          Решений: 1

Архив данных

Новые обсуждения форума

подробнее

Новые пользователи

Сейчас на сайте

Сейчас на сайте 1 пользователь и 4 гостя.

Пользователи на сайте

Подписка

RSS-материал

Theme by Danetsoft and Danang Probo Sayekti inspired by Maksimer