pifagor.kz

Задача #1332

Уровень: 5-11 (Средняя)

Простые числа $p,q,r$ таковы,что $p$+$q$+$r$=$118$, $pq$+$qr$+$pr$=$2075$.Найдите произведение $pqr$.

Источник: не известно
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Решений: 7
Задача #1285

Уровень: 9-11 (Легкая)

Determine all pairs $(m,n)$ of natural numbers for which $m^2=nk+2$ where $k=\overline{n1}$ .

Источник: JBMO 2006 shortlist
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Решений: 3
Задача #1284

Уровень: 8-11 (Средняя)

Let $n \geq 2$ be a positive integer. Suppose there exist non-negative integers ${n_1},{n_2},\ldots,{n_k}$ such that $2^n - 1 \mid \sum_{i = 1}^k {{2^{{n_i}}}}$ . Prove that $k \ge n$ .

Источник: Vietnam National olimpiad 2012
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Решений: 1
Задача #1184

Уровень: 5-11 (Легкая)

Квадрат разбили на 100 прямоугольников девятью вертикальными и девятью горизонтальными прямыми (параллельными его сторонам). Среди этих прямоугольников оказалось ровно 9 квадратов. Докажите, что два из этих квадратов имеют одинаковый размер.

Источник: не известно
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Задача #1134

Уровень: 11-5 ()

Назовём десятизначное число интересным, если оно делится на 11111 и все его цифры различны. Сколько существует интересных чисел?

Ответ: 3456

Proposed by Ivanov Ivan
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Задача #1052

Уровень: 11-5 ()

Пусть $n_1$,$n_2$, ... ,$n_k$ - все делители числа $M^s$, где $s > 1$ нечетное число. Докажите, что $d(n_1) + d(n_2) + ... + d(n_k) - 1$ кратно $s$.

$d(m)$ - колличество делителей числа $m$.

Proposed by Saken Ilyassov
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Задача #1013

Уровень: 11-5 ()

Решить в целых числах $x^2$ - $y^{11}$ = $7$.

Proposed by Saken Ilyassov
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Решений: 4
Задача #987

Уровень: 11-5 ()

а) Сколькими способами Дима сможет покрасить пять елок в серебристый, зеленый и синий цвета, если количество краски у него неограничено, а каждую елку он красит только в один цвет?
б) У Димы есть пять шариков: красный, зеленый, желтый, синий и золотой. Сколькими способами он сможет украсить ими пять елок, если на каждую требуется надеть ровно один шарик?
в) А если можно надевать несколько шариков на одну елку (и все шарики должны быть использованы)?
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Решений: 2
Задача #979

Уровень: 11-5 ()

В надписи "гджщве дгмё фсрземлсетэ", зашифрованной шифром Винежера, имеется слово "явка".Известно, что ключ состоит из четырёх букв. Расшифруй надпись.
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Задача #972

Уровень: 11-5 ()

Найдите наименьшее c, при котором

а) уравнение 7x + 9y = c имело бы ровно 6 целых положительных решений;

б) уравнение 14x + 11y = c имело бы ровно 5 целых положительных решений
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь