В каждой клетке таблицы $8$ x $8$ стоит число $0$. За один ход можно выбрать любой прямоугольник $1$ x $3$ и увеличить (или уменьшить) числа во всех его клетках на 1. Назавём натуральное число $N$ - крутым, если существует комбинация из $N$ ходов такая, что суммы чисел во всех стоках и во всех столбцах равны. Найдите все крутые числа.
Proposed by Saken Ilyassov
а) Докажите, что если прямоугольник mxn разрезали на полоски 1х5, то хотя бы одно из чисел m, n делится на 5.
б) Докажите, что если прямоугольник mxn разрезали на полоски 1х6, то хотя бы одно из чисел m, n делится на 6.
Можно ли в каждую клетку таблицы 5х5 поставить целое число, так, что бы сумма чисел в каждом столбце была нечетной, а в каждой строке - четной? А если таблица 5х5?
Дана бесконечная шахматная доска, на одной из ее клеток стоит конь, который начинает свое движение(по всем правилам шахмат). Может ли конь прийти в ту же клетку из которой начал свое движение за нечетное число ходов?
Mожно ли покрасить 4 вершины куба в красный цвет и 4 другие - в синий так, чтобы плоскость, проходящая через любые три точки одного цвета, содержала точку другого цвета?
У двух человек было два квадратных торта. Kаждый сделал на своём торте по 2 прямолинейных разреза от края до края. При этом у одного получилось три куска, а у другого — четыре. Kак это могло быть?
Mожно ли в клетках таблицы 5 x 5 записать 25 чисел так, чтобы сумма всех чисел таблицы была положительной, а сумма чисел в любом квадрате 2 x 2, 3 x 3, 4 x 4 была отрицательной? (если можно то показать как, если нельзя то доказать что нельзя)
2. Mожет ли
а) ладья
б) конь
перейти из одного угла шахматной доски в противоположный угол (по диогонали),побывав по одному разу на всех 64 клетках?(Если да, то покозать как,если нет то доказать что нельзя).
Дан квадрат $nxn$, раскрашенный в шахматном порядке так, что левая верхняя угловая клетка черная. Разрешается делать следующую операцию: Bыбирать прямоугольник $2x3$ или $3x2$ в котором ровно три белые клетки и перекрасить их в черный цвет. При каких $n$ при помощи таких операций можно покрасить все клетки в черный цвет.
Сегодня 20 мая 2012 года команда школы Пифагор в составе:
а также команды 165, 173, 92 лицеев в составе которых так же были ученики нашей школы (Абдрахманов Ален, Есбай Махамбет, Стыбаев Дінмухамед)
ЛЕТНЯЯ ШКОЛА ОЛИМПИЙСКОГО РЕЗЕРВА «ЖАС МАТЕМАТИК»
для 2-11 классников регистрация до 15 мая! Всего будет окола 150 учеников!
Theme by Danetsoft and Danang Probo Sayekti inspired by Maksimer