Докажите, что если в треугольнике один из углов равен 30 градусов, то сторона лежащая напротив этго угла не меньше диаметра вписанного круга.

Найдите все такие треугольники $ABC$ для которых их площадь вычисляется по формуле $\frac{1}{4}*($AB^2$+$AC^2$)$ ?

На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ даны точки $A_1$ и $B_1$. 0трезки $A A_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $P$, а отрезки $A_1B_1$ и $CP$ в точке $Q$. Прямая проходящая через $Q$, параллельная $AB$ пересекает $AC$, $BC$ , $A A_1$, $BB_1$ соответственно в точках $K$, $L$, $M$, $N$. Доказать что отрезки $KN$ и $LM$ равны.

$M$ и $N$ — точки пересечения двух окружностей с центрами $O_1$ и $O_2$. Прямая O1M пересекает 1-ю окружность в точке $A_1$, а 2-ю в точке $A_2$. Прямая $O_2M$ пересекает 1-ю окружность в точке $B_1$, а 2-ю в точке $B_2$. Доказать, что прямые $A_1B_1$, $A_2B_2$ и $MN$ пересекаются в одной точке.