$ABC$ - произвольный треугольник. Окружность проходящая через точки $A$ и $B$ пересекает прямые $AC$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$. Прямые $AQ$ и $BP$ пересеклись в точке $O$. Описанные окружности треугольников $APO$ и $BQO$ пересекают прямые $PQ$ и $AB$ в точках $E_1,F_1$ и $E_2,F_2$ соответственно. Прямые $E_1E_2$ и $AC$ пересеклись в точке $M$, а прямые $F_1F_2$ и $BC$ в точке $N$. Докажите, что прямая $CO$ делит $MN$ пополам.
Proposed by Saken Ilyassov and Amir Dargulov
Даны две не пересекающиеся окружности $s_1$ и $s_2$. На $s_1$ выбрали две точки $A$ и $B$. Затем через них провели две окружности, каждая из которых кассается $s_2$. (Очевидно, что их две. Ведь одна кассается внешним а вторая внутреним образом.) Точки касания обозначим через $M$ и $N$. Докажите, что не зависимо от положения точек $A$ и $B$ прямая $MN$ проходит через фиксированную точку.
Proposed by Arseny Akopyan and Saken Ilyassov
Даны полуокружность с диаметром $AB$ и центром $O$ и прямая, пересекающая полуокружность в точках $C$ и $D$ , а прямую $AB$ – в точке $M$ ( $MB, MD$). Пусть $K$ – отличная от $O$ точка пересечения окружностей, описанных около треугольников $AOC$ и $DOB$. Докажите, что $\langle MKO$ – прямой.
Қабырғалары әр түрлі сүйір бұрышты ABC үшбұрышында > орындалсын. Бұл үшбұрышта O - сырттай шеңбер центрі, Η - ортоцентр, F - C төбесінен түскен биіктіктің табаны болсын. ΑF=ΡF теңдігі орындалатындай етіп ΑΒ түзуінің бойынан P нүктесі алынсын (A нүктесінен өзге). M нүктесі ΑC қабырғасының ортасы болсын. PH және BC түзулерінің қиылысуын X, OM және FX түзулерінің қиылысуын Y және OF пен AC түзулерінің қиылысуын Z деп белгілейік. F, M, Y және Z нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіз
Пусть $s$ - центр вписанной окружности треугольника $ABC$, а точки $P, Q$ - основания перпендикуляров, опущенных с вершины на прямые, содержащие биссектрисы углов $\angle BAC$ и $\angle ABC$ соответственно. Докажите, что прямые $AB$ и $PQ$ - параллельны.
Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $B$ проведена прямая, пересекающая первую и вторую окружности соответственно в точках $C$ и $D$, отличных от $B$. Kасательная к первой окружности в точке $C$ и касательная ко второй окружности в точке $D$ пересекаются в точке $M$. Через точку пересечения $AM$ и $CD$ проведена прямая, параллельная $CM$ и пересекающая $AC$ в точке $K$. Доказать, что $BK$ является касательной ко второй окружности.
0кружности $w_1$ и $w_2$ касаются друг друга внутренним образом (радиус $w_1$ меньше радиуса $w_2$) в точке $A$. K окружности $w_1$ проведена касательная $l$, параллельная прямой, проходящей через центры окружности. $l$ касается $w_1$ в точке $B$ и пересекает окружность $w_2$ в точках $C$ и $D$. докажите, что $AB$ является биссектрисой угла $CAD$.
даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке $N$ . Хорды $BA$ и $BC$ внешней окружности касаются внутренней в точках $K$ и $M$ соответственно. Пусть $Q$ и $P$ - середины дуг $AB$ и $BC$ , не содержащих точку $N$ . 0кружности, описанные около треугольников $BQK$ и $BPM$ , пересекаются в точке $B_1$ . докажите, что $BPB_1Q$ параллелограмм.
Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, центр $O$ которой лежит внутри него. Доказать, что, если угол $BAO$ равен углу $DAC$, то диагонали четырехугольника перпендикулярны.
Сегодня 20 мая 2012 года команда школы Пифагор в составе:
а также команды 165, 173, 92 лицеев в составе которых так же были ученики нашей школы (Абдрахманов Ален, Есбай Махамбет, Стыбаев Дінмухамед)
ЛЕТНЯЯ ШКОЛА ОЛИМПИЙСКОГО РЕЗЕРВА «ЖАС МАТЕМАТИК»
для 2-11 классников регистрация до 15 мая! Всего будет окола 150 учеников!
Theme by Danetsoft and Danang Probo Sayekti inspired by Maksimer