Из внутренней точки $M$ треугольника $ABC$ проведены перпендикуляры $MA_1$, $MB_1$, $MC_1$ к сторонам $BC$, $CA$, $AB$ соответственно. Для какой точки $M$ треугольника $ABC$ величина $\frac{BC}{MA_1} + \frac{CA}{MB_1} + \frac{AB}{MC_1}$ примет наименьшее значение?

На каждой стороне треугольника выбрано по p-1 точек, делящих сторону на p равных частей. Все точки деления соединены отрезками с противолежащими вершинами треугольника. На какое наименьшее число частей разбивается треугольник этими отрезками, если известно, что p - простое число?

Точка D на стороне BC треугольника ABC такова, что радиусы вписанных окружностей треугольников ABD и ACD равны. Докажите, что радиусы окружностей, вневписанных в треугольники ABD и ACD , касающихся соответственно отрезков BD и CD , также равны.

Точки M и N — середины боковых сторон AB и CD трапеции ABCD. Перпендикуляр, опущенный из точки M на диагональ AC, и перпендикуляр, опущенный из точки N на диагональ BD, пересекаются в точке P. Докажите, что PA = PD.