Пусть $\omega_c$ окружность вписанная в угол $\angle ACB$ треугольника $ABC$, которая касается его описанной окружности (внутреним образом) в точке $N_c$. Пусть $M_c$ середина дуги $AN_cB$. Прямые $N_cM_c$ и $AB$ пересеклись в точке $K_c$. Пусть окружность $S_c$ - это окружность с диаметром $N_cK_c$. Аналогично определим окружности $S_a$ и $S_b$. Докажите, что окружности $S_a,S_b$ и $S_c$ пересекаются в одной точке.
Proposed by Saken Ilyassov
Вписанная в треугольник ABC окружность с центром I касается сторон AB и AC в точках C1 и B1 соответственно. Точка M делит отрезок C1B1 в отношении 3:1, считая от C1. N - середина стороны AC. Докажите, что точки I,M,B1,N лежат на одной окружности, если известно что AC=3(BC−AB). Подскажите что-нибудь, а то в тупик зашел...
Из внутренней точки $M$ треугольника $ABC$ проведены перпендикуляры $MA_1$, $MB_1$, $MC_1$ к сторонам $BC$, $CA$, $AB$ соответственно. Для какой точки $M$ треугольника $ABC$ величина $\frac{BC}{MA_1} + \frac{CA}{MB_1} + \frac{AB}{MC_1}$ примет наименьшее значение?
В треугольнике $ABC$ обозначим $r,R$ радиус вписанной и описанной окружностей, а $p$ его полупериметр. Пусть один из углов треугольника равен 60. Найдите значение выражения $\frac{r + R}{p}$.
Proposed by Saken Ilyassov
Докажите, что точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции, середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на одной прямой.
Через точку D, взятую на стороне AB треугольника ABC, проведена прямая, параллельная AC, и пересекающая сторону BC в точке E. Докажите, что прямые AE, CD и медиана, проведённая из вершины B, пересекаются в одной точке.
В трапеции точка пересечения диагоналей равноудалена от прямых, на которых лежат боковые стороны.Доказать, что трапеция равнобедренная.
На каждой стороне треугольника выбрано по p-1 точек, делящих сторону на p равных частей. Все точки деления соединены отрезками с противолежащими вершинами треугольника. На какое наименьшее число частей разбивается треугольник этими отрезками, если известно, что p - простое число?
Дан параллелограмм 
, в котором угол 
тупой. Прямая 
пересекает второй раз окружность 
, описанную вокруг треугольника , в точке 
. Прямая 
пересекает второй раз окружность в точке 
. Докажите, что центр описанной окружности треугольника 
лежит на окружности .
В треугольнике $ABC$ центр описанной окружности лежит на вписанной окружности. Докажите, что
$cosA + cosB + cosB = \sqrt{2}$
Proposed by Saken Ilyassov
Сегодня 20 мая 2012 года команда школы Пифагор в составе:
а также команды 165, 173, 92 лицеев в составе которых так же были ученики нашей школы (Абдрахманов Ален, Есбай Махамбет, Стыбаев Дінмухамед)
ЛЕТНЯЯ ШКОЛА ОЛИМПИЙСКОГО РЕЗЕРВА «ЖАС МАТЕМАТИК»
для 2-11 классников регистрация до 15 мая! Всего будет окола 150 учеников!
Theme by Danetsoft and Danang Probo Sayekti inspired by Maksimer