Даны две последовательности ${a_i}$ и ${b_i}$ такие, что $a_1$ = $b_1$ = $1$. И для любого натурального $n$, $a_{n+1}$ $-$ $a_{n}$ $=$ $2b_{n}$ и $b_{n+1}$ $-$ $b_{n}$ $=$ $a_{n}$. Докажите, что $\sqrt{2}$ $(b_2 + b_3 + b_4 + ... + b_m )$ +1 < $(1+\sqrt{2})^{m+1}$

  Proposed by Saken Ilyassov

Есть робот на числовой прямой, он стоит в точке 0. 0н может делать два вида шагов: длинные на расстояние a и короткие на расстояние b. (b < a, a и b - вещественные). При каких a и b робот может попать в любую окрестность любой точки x на прямой? (То есть для любого $\epsilon$ > 0 в интервал (x-$\epsilon$, x+$\epsilon$) ).

Докажите, то для любого натурального числа $n$ выполнено тождество $1^3+2^3+...+n^3=(1 +2+...+n)^2$

Докажите, то для любого натурального числа $n$ выполнено тождество $1+2+...+n=(n(n+1))/2$